Номер 61, страница 227, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 61, страница 227.

Условие.

61 Используя монотонность функции $y = x^2 - 6x + 1$, сравните $y(a)$ и $y(b)$, если:

а) $a = 3, b = 1,72;$

б) $a = 3 - \sqrt{2}, b = 3 + \sqrt{2};$

в) $a = 4, b = 3\sqrt{2};$

г) $a = 0,8, b = 5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для сравнения значений функции $y(x) = x^2 - 6x + 1$ в точках $a$ и $b$, необходимо исследовать её на монотонность. Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$).

Найдём абсциссу вершины параболы, которая является точкой экстремума функции:

$x_в = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.

Так как ветви параболы направлены вверх, функция убывает на промежутке $(-\infty, 3]$ и возрастает на промежутке $[3, +\infty)$. Точка $x=3$ является точкой минимума функции.

а) $a = 3, b = 1,72$

Точка $a=3$ является точкой минимума функции. Точка $b = 1,72$ принадлежит промежутку $(-\infty, 3]$, на котором функция убывает. Так как $1,72 < 3$, то по свойству убывающей функции $y(1,72) > y(3)$. Кроме того, поскольку $y(3)$ — это наименьшее значение функции, то для любой другой точки $x \neq 3$ будет выполняться неравенство $y(x) > y(3)$. Следовательно, $y(b) > y(a)$.

Ответ: $y(a) < y(b)$.

б) $a = 3 - \sqrt{2}, b = 3 + \sqrt{2}$

Точка $a = 3 - \sqrt{2}$ лежит левее вершины ($a < 3$) и принадлежит промежутку убывания. Точка $b = 3 + \sqrt{2}$ лежит правее вершины ($b > 3$) и принадлежит промежутку возрастания. Парабола симметрична относительно своей оси симметрии $x=3$. Сравним расстояния от точек $a$ и $b$ до оси симметрии:

$|a - 3| = |(3 - \sqrt{2}) - 3| = |-\sqrt{2}| = \sqrt{2}$

$|b - 3| = |(3 + \sqrt{2}) - 3| = |\sqrt{2}| = \sqrt{2}$

Так как точки $a$ и $b$ равноудалены от оси симметрии параболы, значения функции в этих точках равны.

Ответ: $y(a) = y(b)$.

в) $a = 4, b = 3\sqrt{2}$

Сравним значения $a$ и $b$ с абсциссой вершины $x_в=3$. Очевидно, $a=4 > 3$. Чтобы сравнить $b=3\sqrt{2}$ с 4, сравним их квадраты: $4^2 = 16$, а $(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$. Так как $18 > 16$, то $3\sqrt{2} > 4$. Таким образом, имеем $3 < a < b$. Обе точки принадлежат промежутку возрастания функции $[3, +\infty)$. По определению возрастающей функции, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Так как $a < b$, то $y(a) < y(b)$.

Ответ: $y(a) < y(b)$.

г) $a = 0,8, b = 5$

Точка $a = 0,8$ принадлежит промежутку убывания $(-\infty, 3]$, так как $0,8 < 3$. Точка $b = 5$ принадлежит промежутку возрастания $[3, +\infty)$, так как $5 > 3$. В этом случае сравним значения функции, определив, какая из точек находится дальше от оси симметрии $x=3$. Чем дальше точка от вершины параболы (с ветвями вверх), тем больше значение функции.

Расстояние от $a$ до оси симметрии: $|a - 3| = |0,8 - 3| = |-2,2| = 2,2$.

Расстояние от $b$ до оси симметрии: $|b - 3| = |5 - 3| = |2| = 2$.

Поскольку $2,2 > 2$, точка $a=0,8$ находится дальше от вершины, чем точка $b=5$. Следовательно, значение функции в точке $a$ будет больше, чем в точке $b$.

Ответ: $y(a) > y(b)$.