Номер 68, страница 229, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 68, страница 229.

Условие.

68 Представьте функцию $y = f(x)$ в виде кусочной функции и постройте её график, если:

a) $f(x) = |x^2 - 1|$;

б) $f(x) = -|x^2 - 4|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $f(x) = |x^2 - 1|$

Представление в виде кусочной функции.
По определению модуля, $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$. Применим это определение к выражению под знаком модуля, $x^2 - 1$.
Найдем, при каких значениях $x$ выражение $x^2 - 1$ неотрицательно, а при каких — отрицательно.
1. Выражение $x^2 - 1$ неотрицательно, если $x^2 - 1 \ge 0$. Это неравенство равносильно $x^2 \ge 1$, что выполняется при $|x| \ge 1$, то есть для $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$. На этих промежутках $|x^2 - 1| = x^2 - 1$.
2. Выражение $x^2 - 1$ отрицательно, если $x^2 - 1 < 0$. Это неравенство равносильно $x^2 < 1$, что выполняется при $|x| < 1$, то есть для $x \in (-1, 1)$. На этом промежутке $|x^2 - 1| = -(x^2 - 1) = 1 - x^2$.
Таким образом, функция $f(x)$ может быть записана в виде следующей кусочной функции: $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{если } x \le -1 \text{ или } x \ge 1 \\ 1 - x^2, & \text{если } -1 < x < 1 \end{cases}$

Построение графика.
График функции $y = |g(x)|$ можно построить, выполнив следующие шаги:
1. Построить график функции $y = g(x)$. В нашем случае это парабола $y = x^2 - 1$. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 1 единицу вниз. Ее вершина находится в точке $(0, -1)$, ветви направлены вверх. Парабола пересекает ось абсцисс ($Ox$) в точках $x=-1$ и $x=1$.
2. Часть графика, которая находится ниже оси абсцисс (где значения $y$ отрицательны), симметрично отразить относительно оси абсцисс.
3. Часть графика, которая находится выше или на оси абсцисс (где значения $y$ неотрицательны), оставить без изменений.
В нашем случае, часть параболы $y = x^2 - 1$ на интервале $(-1, 1)$ лежит ниже оси $Ox$. После отражения этой части относительно оси $Ox$, мы получаем на этом интервале график функции $y = -(x^2 - 1) = 1 - x^2$. Вершина этой части графика будет в точке $(0, 1)$.
Итоговый график будет состоять из ветвей параболы $y = x^2 - 1$ на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$, и "перевернутой" дуги параболы $y = 1 - x^2$ на промежутке $(-1, 1)$. График напоминает букву "W".

Ответ: $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{при } |x| \ge 1 \\ 1 - x^2, & \text{при } |x| < 1 \end{cases}$. График функции получается из параболы $y = x^2 - 1$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс той ее части, которая лежит ниже этой оси.

---

б) $f(x) = -|x^2 - 4|$

Представление в виде кусочной функции.
Сначала рассмотрим выражение под знаком модуля, $|x^2 - 4|$.
1. Выражение $x^2 - 4$ неотрицательно, если $x^2 - 4 \ge 0$. Это неравенство равносильно $x^2 \ge 4$, что выполняется при $|x| \ge 2$, то есть для $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$. На этих промежутках $|x^2 - 4| = x^2 - 4$, и тогда $f(x) = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$.
2. Выражение $x^2 - 4$ отрицательно, если $x^2 - 4 < 0$. Это неравенство равносильно $x^2 < 4$, что выполняется при $|x| < 2$, то есть для $x \in (-2, 2)$. На этом промежутке $|x^2 - 4| = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$, и тогда $f(x) = - (4 - x^2) = x^2 - 4$.
Таким образом, функция $f(x)$ может быть записана в виде следующей кусочной функции: $f(x) = \begin{cases} 4 - x^2, & \text{если } |x| \ge 2 \\ x^2 - 4, & \text{если } |x| < 2 \end{cases}$

Построение графика.
График функции $y = -|g(x)|$ можно построить из графика $y=g(x)$, в данном случае из параболы $y = x^2 - 4$.
Парабола $y = x^2 - 4$ является стандартной параболой $y=x^2$, смещенной на 4 единицы вниз. Ее вершина находится в точке $(0, -4)$, ветви направлены вверх. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=-2$ и $x=2$.
Для построения графика $y = -|x^2 - 4|$ можно рассуждать так: - Там, где $x^2 - 4 \ge 0$ (т.е. при $|x| \ge 2$), график $y=x^2-4$ находится на или выше оси $Ox$. В этом случае $y = -|x^2-4| = -(x^2-4) = 4-x^2$. То есть, эта часть графика отражается относительно оси $Ox$. - Там, где $x^2 - 4 < 0$ (т.е. при $|x| < 2$), график $y=x^2-4$ находится ниже оси $Ox$. В этом случае $y = -|x^2-4| = -(-(x^2-4)) = x^2-4$. То есть, эта часть графика остается на своем месте.
Итоговый график состоит из двух частей: - На интервале $(-2, 2)$ это дуга параболы $y = x^2 - 4$ с вершиной в $(0, -4)$. - На промежутках $(-\infty, -2]$ и $[2, \infty)$ это ветви параболы $y = 4 - x^2$ (ветви направлены вниз, точки пересечения с осью $Ox$ — $x=\pm2$).
График полностью лежит ниже или на оси абсцисс и напоминает букву "M".

Ответ: $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4, & \text{при } |x| < 2 \\ 4 - x^2, & \text{при } |x| \ge 2 \end{cases}$. График функции $y = -|x^2 - 4|$ получается из графика параболы $y = x^2 - 4$ следующим образом: часть параболы, расположенная ниже оси абсцисс, остается без изменений, а часть, расположенная на или выше оси абсцисс, симметрично отражается относительно этой оси.