Номер 101, страница 232, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 101, страница 232.

Условие.

101 Разложите квадратный трёхчлен на множители:

а) $x^2 + 22x - 23$;

б) $-3x^2 - 8x + 3$;

в) $-x^2 + 18x - 77$;

г) $7x^2 + 9x + 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для разложения квадратного трёхчлена вида $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — это корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

а) Для разложения трёхчлена $x^2 + 22x - 23$ найдём корни уравнения $x^2 + 22x - 23 = 0$. Так как это приведённое квадратное уравнение ($a=1$), воспользуемся теоремой Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -22$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -23$. Отсюда корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -23$.

Подставляем найденные корни в формулу разложения: $x^2 + 22x - 23 = 1 \cdot (x - 1)(x - (-23)) = (x - 1)(x + 23)$.

Ответ: $(x - 1)(x + 23)$.

б) Для разложения трёхчлена $-3x^2 - 8x + 3$ найдём корни уравнения $-3x^2 - 8x + 3 = 0$.

Найдём дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 3 = 64 + 36 = 100$. $\sqrt{D} = 10$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-8) + 10}{2 \cdot (-3)} = \frac{18}{-6} = -3$; $x_2 = \frac{-(-8) - 10}{2 \cdot (-3)} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$.

Подставляем корни и коэффициент $a=-3$ в формулу разложения: $-3(x - (-3))(x - \frac{1}{3}) = -3(x + 3)(x - \frac{1}{3})$.

Чтобы избавиться от дроби, умножим множитель $3$ на вторую скобку: $-(x + 3)(3x - 1)$.

Ответ: $-(x + 3)(3x - 1)$.

в) Для разложения трёхчлена $-x^2 + 18x - 77$ найдём корни уравнения $-x^2 + 18x - 77 = 0$. Умножим уравнение на -1, чтобы получить приведённое уравнение: $x^2 - 18x + 77 = 0$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 18$ и $x_1 \cdot x_2 = 77$. Отсюда корни $x_1 = 7$ и $x_2 = 11$.

Подставляем корни и коэффициент $a=-1$ из исходного трёхчлена в формулу разложения: $-1(x - 7)(x - 11) = -(x - 7)(x - 11)$.

Ответ: $-(x - 7)(x - 11)$.

г) Для разложения трёхчлена $7x^2 + 9x + 2$ найдём корни уравнения $7x^2 + 9x + 2 = 0$.

Найдём дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 - 56 = 25$. $\sqrt{D} = 5$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-9 + 5}{2 \cdot 7} = \frac{-4}{14} = -\frac{2}{7}$; $x_2 = \frac{-9 - 5}{2 \cdot 7} = \frac{-14}{14} = -1$.

Подставляем корни и коэффициент $a=7$ в формулу разложения: $7(x - (-\frac{2}{7}))(x - (-1)) = 7(x + \frac{2}{7})(x + 1)$.

Чтобы избавиться от дроби, умножим множитель $7$ на первую скобку: $(7x + 2)(x + 1)$.

Ответ: $(7x + 2)(x + 1)$.