Номер 88, страница 230, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 88, страница 230.

Условие.

88 Периметр прямоугольного треугольника равен 48 см, а его гипотенуза 20 см. Найдите катеты треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$. Согласно условию задачи, периметр $P = 48$ см, а гипотенуза $c = 20$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$. Подставив известные значения, получим уравнение для суммы катетов:

$48 = a + b + 20$

$a + b = 48 - 20 = 28$

Для любого прямоугольного треугольника верна теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим известное значение гипотенузы:

$a^2 + b^2 = 20^2$

$a^2 + b^2 = 400$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a + b = 28 \\ a^2 + b^2 = 400 \end{cases}$

Для решения системы выразим переменную $b$ из первого уравнения: $b = 28 - a$. Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$a^2 + (28 - a)^2 = 400$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^2 + (784 - 56a + a^2) = 400$

$2a^2 - 56a + 784 = 400$

$2a^2 - 56a + 384 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:

$a^2 - 28a + 192 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$:

$D = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 192 = 784 - 768 = 16$

Корни уравнения:

$a_1 = \frac{-(-28) + \sqrt{16}}{2} = \frac{28 + 4}{2} = 16$

$a_2 = \frac{-(-28) - \sqrt{16}}{2} = \frac{28 - 4}{2} = 12$

Найденные значения — это длины катетов. Если один катет $a = 16$ см, то второй катет $b = 28 - 16 = 12$ см. Если же $a = 12$ см, то $b = 28 - 12 = 16$ см. В обоих случаях длины катетов одинаковы.

Ответ: катеты треугольника равны 12 см и 16 см.