Номер 81, страница 230, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 81, страница 230.

Условие.

81 a) $\frac{8x^2 + x}{8} = \frac{15}{32}$;

б) $\frac{2x^2 - 3x}{2} + \frac{9x + 2}{3} = \frac{3 - 2x^2}{6}$;

в) $\frac{10x^2 - 3x}{2} = \frac{7}{5}$;

г) $\frac{7x + 15}{12} - \frac{6x^2 + 1}{6} = \frac{3 - 6x^2}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Дано уравнение: $ \frac{8x^2 + x}{8} = \frac{15}{32} $.

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на их наименьшее общее кратное, которое равно 32.

$ 32 \cdot \frac{8x^2 + x}{8} = 32 \cdot \frac{15}{32} $

$ 4(8x^2 + x) = 15 $

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$ 32x^2 + 4x = 15 $

$ 32x^2 + 4x - 15 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = 32$, $b = 4$, $c = -15$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$ D = 4^2 - 4 \cdot 32 \cdot (-15) = 16 + 1920 = 1936 $

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{1936} = 44$.

Теперь найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$ x_1 = \frac{-4 + 44}{2 \cdot 32} = \frac{40}{64} = \frac{5}{8} $

$ x_2 = \frac{-4 - 44}{2 \cdot 32} = \frac{-48}{64} = -\frac{3}{4} $

Ответ: $x_1 = \frac{5}{8}, x_2 = -\frac{3}{4}$.

б)

Дано уравнение: $ \frac{2x^2 - 3x}{2} + \frac{9x + 2}{3} = \frac{3 - 2x^2}{6} $.

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, равный 6.

$ 6 \cdot \frac{2x^2 - 3x}{2} + 6 \cdot \frac{9x + 2}{3} = 6 \cdot \frac{3 - 2x^2}{6} $

$ 3(2x^2 - 3x) + 2(9x + 2) = 3 - 2x^2 $

Раскроем скобки и упростим выражение:

$ 6x^2 - 9x + 18x + 4 = 3 - 2x^2 $

$ 6x^2 + 9x + 4 = 3 - 2x^2 $

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$ 6x^2 + 2x^2 + 9x + 4 - 3 = 0 $

$ 8x^2 + 9x + 1 = 0 $

Решим это уравнение. Коэффициенты: $a = 8$, $b = 9$, $c = 1$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$ D = 9^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 81 - 32 = 49 $

Корень из дискриминанта: $\sqrt{49} = 7$.

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$ x_1 = \frac{-9 + 7}{2 \cdot 8} = \frac{-2}{16} = -\frac{1}{8} $

$ x_2 = \frac{-9 - 7}{2 \cdot 8} = \frac{-16}{16} = -1 $

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = -\frac{1}{8}$.

в)

Дано уравнение: $ \frac{10x^2 - 3x}{2} = \frac{7}{5} $.

Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних) или умножим обе части на наименьший общий знаменатель 10:

$ 5(10x^2 - 3x) = 2 \cdot 7 $

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду:

$ 50x^2 - 15x = 14 $

$ 50x^2 - 15x - 14 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = 50$, $b = -15$, $c = -14$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$ D = (-15)^2 - 4 \cdot 50 \cdot (-14) = 225 + 2800 = 3025 $

Корень из дискриминанта: $\sqrt{3025} = 55$.

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$ x_1 = \frac{-(-15) + 55}{2 \cdot 50} = \frac{15 + 55}{100} = \frac{70}{100} = \frac{7}{10} $

$ x_2 = \frac{-(-15) - 55}{2 \cdot 50} = \frac{15 - 55}{100} = \frac{-40}{100} = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5} $

Ответ: $x_1 = \frac{7}{10}, x_2 = -\frac{2}{5}$.

г)

Дано уравнение: $ \frac{7x + 15}{12} - \frac{6x^2 + 1}{6} = \frac{3 - 6x^2}{2} $.

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 12.

$ 12 \cdot \left(\frac{7x + 15}{12}\right) - 12 \cdot \left(\frac{6x^2 + 1}{6}\right) = 12 \cdot \left(\frac{3 - 6x^2}{2}\right) $

$ 1(7x + 15) - 2(6x^2 + 1) = 6(3 - 6x^2) $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ 7x + 15 - 12x^2 - 2 = 18 - 36x^2 $

$ -12x^2 + 7x + 13 = 18 - 36x^2 $

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$ -12x^2 + 36x^2 + 7x + 13 - 18 = 0 $

$ 24x^2 + 7x - 5 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = 24$, $b = 7$, $c = -5$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$ D = 7^2 - 4 \cdot 24 \cdot (-5) = 49 + 480 = 529 $

Корень из дискриминанта: $\sqrt{529} = 23$.

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$ x_1 = \frac{-7 + 23}{2 \cdot 24} = \frac{16}{48} = \frac{1}{3} $

$ x_2 = \frac{-7 - 23}{2 \cdot 24} = \frac{-30}{48} = -\frac{5}{8} $

Ответ: $x_1 = \frac{1}{3}, x_2 = -\frac{5}{8}$.