Номер 80, страница 230, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 80, страница 230.

Условие.

80 а) $(x - 1)(x - 2) = (3x + 2)(3 - x) + 2;$

б) $(x + 4)(4x - 3) = x^2 + 5x + 4;$

в) $x^2 + x + 12 = 2(x + 1)(x - 5);$

г) $19 - (x - 6)(2x + 1) = (x - 5)(x - 1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $(x - 1)(x - 2) = (3x + 2)(3 - x) + 2$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$x^2 - 2x - x + 2 = 9x - 3x^2 + 6 - 2x + 2$
Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$x^2 - 3x + 2 = -3x^2 + 7x + 8$
Перенесем все члены в левую часть и приравняем к нулю:
$x^2 - 3x + 2 + 3x^2 - 7x - 8 = 0$
$(x^2 + 3x^2) + (-3x - 7x) + (2 - 8) = 0$
$4x^2 - 10x - 6 = 0$
Разделим все уравнение на 2 для упрощения:
$2x^2 - 5x - 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$
Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = -0.5$.

б) $(x + 4)(4x - 3) = x^2 + 5x + 4$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$4x^2 - 3x + 16x - 12 = x^2 + 5x + 4$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$4x^2 + 13x - 12 = x^2 + 5x + 4$
Перенесем все члены из правой части в левую:
$4x^2 + 13x - 12 - x^2 - 5x - 4 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$3x^2 + 8x - 16 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-16) = 64 + 192 = 256$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 + 16}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 - 16}{6} = \frac{-24}{6} = -4$
Ответ: $x_1 = \frac{4}{3}$, $x_2 = -4$.

в) $x^2 + x + 12 = 2(x + 1)(x - 5)$
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$x^2 + x + 12 = 2(x^2 - 5x + x - 5)$
$x^2 + x + 12 = 2(x^2 - 4x - 5)$
$x^2 + x + 12 = 2x^2 - 8x - 10$
Перенесем все члены в правую часть для удобства, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:
$0 = 2x^2 - 8x - 10 - x^2 - x - 12$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 9x - 22 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 13}{2} = \frac{22}{2} = 11$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 13}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Ответ: $x_1 = 11$, $x_2 = -2$.

г) $19 - (x - 6)(2x + 1) = (x - 5)(x - 1)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$19 - (2x^2 + x - 12x - 6) = x^2 - x - 5x + 5$
Приведем подобные слагаемые внутри скобок слева и в правой части:
$19 - (2x^2 - 11x - 6) = x^2 - 6x + 5$
Раскроем скобки в левой части:
$19 - 2x^2 + 11x + 6 = x^2 - 6x + 5$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-2x^2 + 11x + 25 = x^2 - 6x + 5$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = x^2 - 6x + 5 + 2x^2 - 11x - 25$
Приведем подобные слагаемые:
$3x^2 - 17x - 20 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 289 + 240 = 529$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + \sqrt{529}}{2 \cdot 3} = \frac{17 + 23}{6} = \frac{40}{6} = \frac{20}{3}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - \sqrt{529}}{2 \cdot 3} = \frac{17 - 23}{6} = \frac{-6}{6} = -1$
Ответ: $x_1 = \frac{20}{3}$, $x_2 = -1$.