Номер 85, страница 230, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 85, страница 230.

Условие.

85 Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 17 см, а один из катетов на 7 см меньше другого. Найдите площадь треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть один катет прямоугольного треугольника равен $x$ см. Согласно условию, другой катет на 7 см меньше, следовательно, его длина составляет $(x - 7)$ см. Гипотенуза равна 17 см.

Воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы ($a^2 + b^2 = c^2$):

$x^2 + (x - 7)^2 = 17^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы решить полученное квадратное уравнение:

$x^2 + (x^2 - 14x + 49) = 289$

$2x^2 - 14x + 49 - 289 = 0$

$2x^2 - 14x - 240 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на 2:

$x^2 - 7x - 120 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 49 + 480 = 529$

$\sqrt{D} = \sqrt{529} = 23$

Теперь найдем значения $x$:

$x_1 = \frac{-(-7) + 23}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 23}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{-(-7) - 23}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 23}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Поскольку длина стороны треугольника не может быть отрицательным числом, корень $x_2 = -8$ не является решением задачи. Таким образом, длина одного катета равна 15 см.

Длина второго катета составляет $x - 7 = 15 - 7 = 8$ см.

Площадь прямоугольного треугольника находится как половина произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 8 = 15 \cdot 4 = 60$ см$^2$.

Ответ: 60 см$^2$.