Номер 79, страница 230, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 79, страница 230.

Условие.

79 a) $4x^2 + 28x + 49 = 0;$

б) $-3x^2 - 24x - 49 = 0;$

в) $-25x^2 + 80x - 64 = 0;$

г) $2x^2 - 8x + 11 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Дано квадратное уравнение $4x^2 + 28x + 49 = 0$.

Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=4$, $b=28$, $c=49$.

Можно заметить, что левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата суммы $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$.

В нашем случае $m^2 = 4x^2 = (2x)^2$, $n^2 = 49 = 7^2$. Проверим средний член: $2mn = 2 \cdot (2x) \cdot 7 = 28x$, что совпадает с условием.

Следовательно, уравнение можно свернуть в полный квадрат:

$(2x + 7)^2 = 0$

Это уравнение равносильно следующему линейному уравнению:

$2x + 7 = 0$

$2x = -7$

$x = -\frac{7}{2} = -3.5$

Альтернативное решение через дискриминант:

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = 28^2 - 4 \cdot 4 \cdot 49 = 784 - 784 = 0$.

Так как $D=0$, уравнение имеет один действительный корень, который находится по формуле $x = \frac{-b}{2a}$.

$x = \frac{-28}{2 \cdot 4} = \frac{-28}{8} = -\frac{7}{2} = -3.5$.

Ответ: $x = -3.5$.

б)

Дано квадратное уравнение $-3x^2 - 24x - 49 = 0$.

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на -1:

$3x^2 + 24x + 49 = 0$

Решим полученное уравнение, используя формулу для корней квадратного уравнения через дискриминант. Коэффициенты уравнения: $a=3$, $b=24$, $c=49$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = 24^2 - 4 \cdot 3 \cdot 49 = 576 - 12 \cdot 49 = 576 - 588 = -12$.

Поскольку дискриминант $D = -12 < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

в)

Дано квадратное уравнение $-25x^2 + 80x - 64 = 0$.

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$25x^2 - 80x + 64 = 0$

Левая часть этого уравнения является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$.

Здесь $m^2 = 25x^2 = (5x)^2$, $n^2 = 64 = 8^2$. Проверка среднего члена: $2mn = 2 \cdot (5x) \cdot 8 = 80x$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(5x - 8)^2 = 0$

Решаем полученное уравнение:

$5x - 8 = 0$

$5x = 8$

$x = \frac{8}{5} = 1.6$

Ответ: $x = 1.6$.

г)

Дано квадратное уравнение $2x^2 - 8x + 11 = 0$.

Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a=2$, $b=-8$, $c=11$.

Для определения количества корней вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 64 - 88 = -24$.

Так как дискриминант $D = -24 < 0$, уравнение не имеет корней в множестве действительных чисел.

Ответ: нет корней.