Номер 136, страница 236, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 136, страница 236.

Условие.

136 Упростите выражение:

а) $(\sqrt{x} + \frac{3-x}{\sqrt{x}+1}): \frac{\sqrt{x}+3}{1-x};$

в) $(\frac{6-y}{1+\sqrt{y}} + \sqrt{y}): \frac{6+\sqrt{y}}{y-1};$

б) $(2 + \sqrt{b})(\frac{b-\sqrt{b}}{\sqrt{b}-1} - 2\sqrt{b} + 2);$

г) $(1 + 2\sqrt{a} - \frac{\sqrt{a}+a}{\sqrt{a}+1})(1-\sqrt{a}).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $(\sqrt{x} + \frac{3-x}{\sqrt{x}+1}) : \frac{\sqrt{x}+3}{1-x}$

1. Упростим выражение в первых скобках, приведя слагаемые к общему знаменателю $\sqrt{x}+1$:

$\sqrt{x} + \frac{3-x}{\sqrt{x}+1} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1) + (3-x)}{\sqrt{x}+1} = \frac{x+\sqrt{x}+3-x}{\sqrt{x}+1} = \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}$

2. Теперь выполним деление. Деление на дробь заменяется умножением на обратную ей дробь:

$\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1} : \frac{\sqrt{x}+3}{1-x} = \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1} \cdot \frac{1-x}{\sqrt{x}+3}$

3. Сократим общий множитель $(\sqrt{x}+3)$:

$\frac{1}{\sqrt{x}+1} \cdot \frac{1-x}{1} = \frac{1-x}{\sqrt{x}+1}$

4. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя, представив $x$ как $(\sqrt{x})^2$:

$1-x = 1^2 - (\sqrt{x})^2 = (1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})$

5. Подставим разложенный числитель в выражение и сократим дробь:

$\frac{(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})}{1+\sqrt{x}} = 1-\sqrt{x}$

Ответ: $1-\sqrt{x}$.

б) $(2+\sqrt{b})(\frac{b-\sqrt{b}}{\sqrt{b}-1} - 2\sqrt{b} + 2)$

1. Упростим выражение во вторых скобках. Начнем с дроби, вынеся в числителе $\sqrt{b}$ за скобки:

$\frac{b-\sqrt{b}}{\sqrt{b}-1} = \frac{\sqrt{b}(\sqrt{b}-1)}{\sqrt{b}-1} = \sqrt{b}$

2. Подставим упрощенную дробь обратно в выражение во вторых скобках и приведем подобные слагаемые:

$\sqrt{b} - 2\sqrt{b} + 2 = -\sqrt{b} + 2 = 2 - \sqrt{b}$

3. Теперь исходное выражение принимает вид:

$(2+\sqrt{b})(2-\sqrt{b})$

4. Это формула разности квадратов $(a+c)(a-c) = a^2 - c^2$, где $a=2$ и $c=\sqrt{b}$:

$(2+\sqrt{b})(2-\sqrt{b}) = 2^2 - (\sqrt{b})^2 = 4-b$

Ответ: $4-b$.

в) $(\frac{6-y}{1+\sqrt{y}} + \sqrt{y}) : \frac{6+\sqrt{y}}{y-1}$

1. Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $1+\sqrt{y}$:

$\frac{6-y}{1+\sqrt{y}} + \sqrt{y} = \frac{6-y + \sqrt{y}(1+\sqrt{y})}{1+\sqrt{y}} = \frac{6-y+\sqrt{y}+y}{1+\sqrt{y}} = \frac{6+\sqrt{y}}{1+\sqrt{y}}$

2. Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$\frac{6+\sqrt{y}}{1+\sqrt{y}} : \frac{6+\sqrt{y}}{y-1} = \frac{6+\sqrt{y}}{1+\sqrt{y}} \cdot \frac{y-1}{6+\sqrt{y}}$

3. Сократим общий множитель $(6+\sqrt{y})$:

$\frac{y-1}{1+\sqrt{y}}$

4. Разложим числитель $y-1$ по формуле разности квадратов, представив $y$ как $(\sqrt{y})^2$:

$y-1 = (\sqrt{y})^2 - 1^2 = (\sqrt{y}-1)(\sqrt{y}+1)$

5. Подставим и сократим дробь:

$\frac{(\sqrt{y}-1)(\sqrt{y}+1)}{1+\sqrt{y}} = \sqrt{y}-1$

Ответ: $\sqrt{y}-1$.

г) $(1+2\sqrt{a} - \frac{\sqrt{a}+a}{\sqrt{a}+1})(1-\sqrt{a})$

1. Упростим выражение в первых скобках. Начнем с дроби, вынеся в числителе $\sqrt{a}$ за скобки:

$\frac{\sqrt{a}+a}{\sqrt{a}+1} = \frac{\sqrt{a}(1+\sqrt{a})}{1+\sqrt{a}} = \sqrt{a}$

2. Подставим упрощенное значение обратно в первые скобки и приведем подобные слагаемые:

$1+2\sqrt{a} - \sqrt{a} = 1+\sqrt{a}$

3. Исходное выражение теперь выглядит так:

$(1+\sqrt{a})(1-\sqrt{a})$

4. Это формула разности квадратов $(c+d)(c-d) = c^2 - d^2$, где $c=1$ и $d=\sqrt{a}$:

$(1+\sqrt{a})(1-\sqrt{a}) = 1^2 - (\sqrt{a})^2 = 1-a$

Ответ: $1-a$.