Номер 147, страница 238, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 147, страница 238.

Условие.

Решите неравенство:

147 a) $x^2 + 3x + 2 < 0;$

б) $-x^2 - x + 12 \leq 0;$

в) $x^2 - 7x + 12 > 0;$

г) $-x^2 + 3x + 4 \geq 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $x^2 + 3x + 2 < 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения: $x^2 + 3x + 2 = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение, для которого можно применить теорему Виета. Сумма корней равна $-3$, а их произведение равно $2$. Легко подобрать корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = -1$.

Также можно найти корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1}$

$x_1 = \frac{-3 - 1}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-3 + 1}{2} = -1$

Графиком функции $y = x^2 + 3x + 2$ является парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Парабола пересекает ось Ох в точках $x = -2$ и $x = -1$.

Неравенство $x^2 + 3x + 2 < 0$ означает, что мы ищем значения $x$, при которых график функции находится ниже оси Ох. Это происходит на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-2, -1)$.

Ответ: $x \in (-2, -1)$.

б) $-x^2 - x + 12 \le 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$. При этом знак неравенства необходимо сменить на противоположный:

$x^2 + x - 12 \ge 0$

Теперь найдем корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 7}{2}$

$x_1 = \frac{-1 - 7}{2} = -4$

$x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3$

Графиком функции $y = x^2 + x - 12$ является парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1 > 0$), которая пересекает ось Ох в точках $x = -4$ и $x = 3$.

Неравенство $x^2 + x - 12 \ge 0$ выполняется, когда парабола находится на оси Ох или выше нее. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), сами корни включаются в решение.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -4] \cup [3, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [3, \infty)$.

в) $x^2 - 7x + 12 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна $7$, а их произведение равно $12$. Корни легко подбираются: $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $y = x^2 - 7x + 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$). Парабола пересекает ось Ох в точках $x = 3$ и $x = 4$.

Нам нужно найти значения $x$, при которых $x^2 - 7x + 12 > 0$, то есть когда парабола находится выше оси Ох. Это происходит на интервалах левее меньшего корня и правее большего корня.

Так как неравенство строгое (>), сами корни в решение не входят.

Решение: $x \in (-\infty, 3) \cup (4, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 3) \cup (4, \infty)$.

г) $-x^2 + 3x + 4 \ge 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 3x - 4 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$.

По теореме Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 3$, произведение $x_1 \cdot x_2 = -4$. Отсюда находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.

Либо через дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2$

$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 5}{2}$

$x_1 = \frac{3 - 5}{2} = -1$

$x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4$

Графиком функции $y = x^2 - 3x - 4$ является парабола с ветвями вверх ($a=1>0$), пересекающая ось Ох в точках $x = -1$ и $x = 4$.

Неравенство $x^2 - 3x - 4 \le 0$ выполняется, когда парабола находится на оси Ох или ниже нее. Это происходит на отрезке между корнями. Так как неравенство нестрогое ($\le$), сами корни включаются в решение.

Решение: $x \in [-1, 4]$.

Ответ: $x \in [-1, 4]$.