Номер 149, страница 238, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 149, страница 238.

Условие.

149 a) $x^2 - 81 \leq 0$;

б) $-x^2 > 4x$;

в) $121 \leq x^2$;

г) $x^2 - 2x < 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $x^2 - 81 \le 0$

Это квадратичное неравенство. Для его решения найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 81 = 0$.

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 9)(x + 9) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = -9$ и $x_2 = 9$.

Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -9]$, $[-9; 9]$ и $[9; +\infty)$.

Графиком функции $y = x^2 - 81$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1). Следовательно, значения функции будут меньше или равны нулю ($y \le 0$) на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства — это отрезок $[-9; 9]$.

Ответ: $x \in [-9; 9]$

б) $-x^2 > 4x$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$-x^2 - 4x > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$x^2 + 4x < 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 4x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 4) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -4$.

Графиком функции $y = x^2 + 4x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции будут отрицательными ($y < 0$) на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства — это интервал $(-4; 0)$.

Ответ: $x \in (-4; 0)$

в) $121 \le x^2$

Перепишем неравенство в более привычном виде, перенеся 121 в правую часть:

$x^2 - 121 \ge 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 121 = 0$.

Используя формулу разности квадратов:

$(x - 11)(x + 11) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = -11$ и $x_2 = 11$.

Графиком функции $y = x^2 - 121$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции будут больше или равны нулю ($y \ge 0$) на промежутках вне отрезка между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства — это объединение двух лучей: $(-\infty; -11]$ и $[11; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -11] \cup [11; +\infty)$

г) $x^2 - 2x < 0$

Это квадратичное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - 2x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 2) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = x^2 - 2x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции будут отрицательными ($y < 0$) на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства — это интервал $(0; 2)$.

Ответ: $x \in (0; 2)$