Номер 154, страница 238, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Авторы: Мордкович А. Г., Александрова Л. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е., Семенов П. В.
Тип: Учебник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Часть: 2
Цвет обложки:
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Итоговое повторение. Часть 2 - номер 154, страница 238.
№154 (с. 238)
Условие. №154 (с. 238)
скриншот условия

154 a) $\sqrt{(x^2 + 8x + 16)^{-1}}$;
б) $\sqrt{(-x^2 + 2x - 3)^{-1}};
в) $\sqrt{x^2 + 6x + 10}$;
г) $\sqrt{-x^2 + 2x - 1}$.
Решение 1. №154 (с. 238)




Решение 2. №154 (с. 238)

Решение 3. №154 (с. 238)

Решение 4. №154 (с. 238)

Решение 6. №154 (с. 238)
а)
Данное выражение: $\sqrt{(x^2 + 8x + 16)^{-1}}$.
Сначала преобразуем выражение в скобках. Квадратный трехчлен $x^2 + 8x + 16$ является полным квадратом суммы, так как соответствует формуле $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$, где $a=x$ и $b=4$.
$x^2 + 8x + 16 = (x+4)^2$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\sqrt{((x+4)^2)^{-1}}$
Степень -1 означает обратное число, то есть $a^{-1} = \frac{1}{a}$. Применим это свойство:
$\sqrt{\frac{1}{(x+4)^2}}$
Далее воспользуемся свойством корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ и свойством $\sqrt{y^2} = |y|$:
$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(x+4)^2}} = \frac{1}{|x+4|}$
Выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю.
$|x+4| \neq 0 \implies x+4 \neq 0 \implies x \neq -4$.
Ответ: $\frac{1}{|x+4|}$.
б)
Данное выражение: $\sqrt{(-x^2 + 2x - 3)^{-1}}$.
Преобразуем его, используя свойство отрицательной степени:
$\sqrt{\frac{1}{-x^2 + 2x - 3}}$
Для того чтобы корень из выражения был определен в действительных числах, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$\frac{1}{-x^2 + 2x - 3} \ge 0$
Так как числитель дроби (1) положителен, то для выполнения неравенства знаменатель также должен быть строго положителен:
$-x^2 + 2x - 3 > 0$
Рассмотрим квадратичную функцию $y = -x^2 + 2x - 3$. Это парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен). Найдем ее вершину. Координата $x$ вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1$.
Максимальное значение функции достигается в вершине: $y(1) = -(1)^2 + 2(1) - 3 = -1 + 2 - 3 = -2$.
Поскольку максимальное значение функции равно -2, выражение $-x^2 + 2x - 3$ всегда отрицательно при любом значении $x$.
Следовательно, неравенство $-x^2 + 2x - 3 > 0$ не имеет решений. Подкоренное выражение всегда отрицательно, а корень из отрицательного числа в области действительных чисел не определен.
Ответ: выражение не имеет смысла (не определено в области действительных чисел).
в)
Данное выражение: $\sqrt{x^2 + 6x + 10}$.
Рассмотрим подкоренное выражение $x^2 + 6x + 10$. Это квадратичная функция $y=x^2 + 6x + 10$. Парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен).
Выделим полный квадрат в этом выражении:
$x^2 + 6x + 10 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 10 = (x+3)^2 - 9 + 10 = (x+3)^2 + 1$.
Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде:
$\sqrt{(x+3)^2 + 1}$
Так как $(x+3)^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $(x+3)^2 + 1 \ge 1$. Это означает, что подкоренное выражение всегда положительно. Следовательно, выражение определено для всех действительных чисел $x$.
В таком виде выражение уже не упрощается.
Ответ: $\sqrt{(x+3)^2 + 1}$.
г)
Данное выражение: $\sqrt{-x^2 + 2x - 1}$.
Для того чтобы корень был определен, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$-x^2 + 2x - 1 \ge 0$
Вынесем минус за скобки:
$-(x^2 - 2x + 1) \ge 0$
Выражение в скобках является полным квадратом разности: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.
Неравенство принимает вид:
$-(x-1)^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(x-1)^2 \ge 0$.
Если умножить это неравенство на -1, знак неравенства изменится на противоположный: $-(x-1)^2 \le 0$.
Таким образом, выражение $-(x-1)^2$ одновременно должно быть $\ge 0$ и $\le 0$. Это возможно только в том случае, если оно равно нулю:
$-(x-1)^2 = 0 \implies (x-1)^2 = 0 \implies x-1=0 \implies x=1$.
Следовательно, данное выражение определено только при $x=1$. Найдем его значение при $x=1$:
$\sqrt{-(1)^2 + 2(1) - 1} = \sqrt{-1+2-1} = \sqrt{0} = 0$.
Ответ: выражение равно 0 при $x=1$ и не определено при других действительных значениях $x$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 154 расположенного на странице 238 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №154 (с. 238), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Александрова (Лилия Александровна), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), Семенов (Павел Владимирович), 2-й части учебного пособия издательства Мнемозина.