Номер 154, страница 238, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 154, страница 238.

Условие.

154 a) $\sqrt{(x^2 + 8x + 16)^{-1}}$;

б) $\sqrt{(-x^2 + 2x - 3)^{-1}};

в) $\sqrt{x^2 + 6x + 10}$;

г) $\sqrt{-x^2 + 2x - 1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Данное выражение: $\sqrt{(x^2 + 8x + 16)^{-1}}$.

Сначала преобразуем выражение в скобках. Квадратный трехчлен $x^2 + 8x + 16$ является полным квадратом суммы, так как соответствует формуле $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$, где $a=x$ и $b=4$.

$x^2 + 8x + 16 = (x+4)^2$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{((x+4)^2)^{-1}}$

Степень -1 означает обратное число, то есть $a^{-1} = \frac{1}{a}$. Применим это свойство:

$\sqrt{\frac{1}{(x+4)^2}}$

Далее воспользуемся свойством корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ и свойством $\sqrt{y^2} = |y|$:

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(x+4)^2}} = \frac{1}{|x+4|}$

Выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю.

$|x+4| \neq 0 \implies x+4 \neq 0 \implies x \neq -4$.

Ответ: $\frac{1}{|x+4|}$.

б)

Данное выражение: $\sqrt{(-x^2 + 2x - 3)^{-1}}$.

Преобразуем его, используя свойство отрицательной степени:

$\sqrt{\frac{1}{-x^2 + 2x - 3}}$

Для того чтобы корень из выражения был определен в действительных числах, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$\frac{1}{-x^2 + 2x - 3} \ge 0$

Так как числитель дроби (1) положителен, то для выполнения неравенства знаменатель также должен быть строго положителен:

$-x^2 + 2x - 3 > 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -x^2 + 2x - 3$. Это парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен). Найдем ее вершину. Координата $x$ вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1$.

Максимальное значение функции достигается в вершине: $y(1) = -(1)^2 + 2(1) - 3 = -1 + 2 - 3 = -2$.

Поскольку максимальное значение функции равно -2, выражение $-x^2 + 2x - 3$ всегда отрицательно при любом значении $x$.

Следовательно, неравенство $-x^2 + 2x - 3 > 0$ не имеет решений. Подкоренное выражение всегда отрицательно, а корень из отрицательного числа в области действительных чисел не определен.

Ответ: выражение не имеет смысла (не определено в области действительных чисел).

в)

Данное выражение: $\sqrt{x^2 + 6x + 10}$.

Рассмотрим подкоренное выражение $x^2 + 6x + 10$. Это квадратичная функция $y=x^2 + 6x + 10$. Парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен).

Выделим полный квадрат в этом выражении:

$x^2 + 6x + 10 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 10 = (x+3)^2 - 9 + 10 = (x+3)^2 + 1$.

Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде:

$\sqrt{(x+3)^2 + 1}$

Так как $(x+3)^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $(x+3)^2 + 1 \ge 1$. Это означает, что подкоренное выражение всегда положительно. Следовательно, выражение определено для всех действительных чисел $x$.

В таком виде выражение уже не упрощается.

Ответ: $\sqrt{(x+3)^2 + 1}$.

г)

Данное выражение: $\sqrt{-x^2 + 2x - 1}$.

Для того чтобы корень был определен, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$-x^2 + 2x - 1 \ge 0$

Вынесем минус за скобки:

$-(x^2 - 2x + 1) \ge 0$

Выражение в скобках является полным квадратом разности: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.

Неравенство принимает вид:

$-(x-1)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(x-1)^2 \ge 0$.

Если умножить это неравенство на -1, знак неравенства изменится на противоположный: $-(x-1)^2 \le 0$.

Таким образом, выражение $-(x-1)^2$ одновременно должно быть $\ge 0$ и $\le 0$. Это возможно только в том случае, если оно равно нулю:

$-(x-1)^2 = 0 \implies (x-1)^2 = 0 \implies x-1=0 \implies x=1$.

Следовательно, данное выражение определено только при $x=1$. Найдем его значение при $x=1$:

$\sqrt{-(1)^2 + 2(1) - 1} = \sqrt{-1+2-1} = \sqrt{0} = 0$.

Ответ: выражение равно 0 при $x=1$ и не определено при других действительных значениях $x$.