Номер 157, страница 238, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 157, страница 238.

Условие.

157 Найдите значение k, при котором квадратное уравнение обладает данным свойством:

a) $5x^2 - kx + 5 = 0$ имеет два корня;

б) $3x^2 + 2kx - (k - 6) = 0$ имеет корни;

в) $3x^2 + 2kx + 12 = 0$ не имеет корней;

г) $2x^2 - kx + k + 6 = 0$ имеет не более одного корня.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи воспользуемся свойством дискриминанта квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$ определяет количество действительных корней уравнения:

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих).
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

а) $5x^2 - kx + 5 = 0$ имеет два корня;

Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, если его дискриминант $D$ строго больше нуля.

Для уравнения $5x^2 - kx + 5 = 0$ коэффициенты равны: $a = 5$, $b = -k$, $c = 5$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-k)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = k^2 - 100$.

Условие $D > 0$ приводит к неравенству:

$k^2 - 100 > 0$.

$(k - 10)(k + 10) > 0$.

Решая это неравенство методом интервалов, находим, что оно выполняется при $k < -10$ или $k > 10$.

Ответ: $k \in (-\infty; -10) \cup (10; +\infty)$.

б) $3x^2 + 2kx - (k - 6) = 0$ имеет корни;

Квадратное уравнение имеет корни (один или два), если его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

Для уравнения $3x^2 + 2kx - (k - 6) = 0$ коэффициенты равны: $a = 3$, $b = 2k$, $c = -(k - 6) = 6 - k$.

Так как коэффициент $b$ четный, удобно использовать формулу для $D/4$:

$\frac{D}{4} = (\frac{b}{2})^2 - ac = k^2 - 3 \cdot (-(k - 6)) = k^2 + 3(k - 6) = k^2 + 3k - 18$.

Условие $\frac{D}{4} \ge 0$ приводит к неравенству:

$k^2 + 3k - 18 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $k^2 + 3k - 18 = 0$. По теореме Виета, корни $k_1 = -6$ и $k_2 = 3$.

Неравенство можно записать в виде $(k + 6)(k - 3) \ge 0$.

Решая это неравенство методом интервалов, получаем, что оно выполняется при $k \le -6$ или $k \ge 3$.

Ответ: $k \in (-\infty; -6] \cup [3; +\infty)$.

в) $3x^2 + 2kx + 12 = 0$ не имеет корней;

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ отрицателен, то есть $D < 0$.

Для уравнения $3x^2 + 2kx + 12 = 0$ коэффициенты равны: $a = 3$, $b = 2k$, $c = 12$.

Используем формулу для $D/4$:

$\frac{D}{4} = (\frac{b}{2})^2 - ac = k^2 - 3 \cdot 12 = k^2 - 36$.

Условие $\frac{D}{4} < 0$ приводит к неравенству:

$k^2 - 36 < 0$.

$(k - 6)(k + 6) < 0$.

Решая это неравенство, находим, что оно выполняется при $-6 < k < 6$.

Ответ: $k \in (-6; 6)$.

г) $2x^2 - kx + k + 6 = 0$ имеет не более одного корня.

Квадратное уравнение имеет не более одного корня (то есть один корень или не имеет корней), если его дискриминант $D$ неположителен, то есть $D \le 0$.

Для уравнения $2x^2 - kx + k + 6 = 0$ коэффициенты равны: $a = 2$, $b = -k$, $c = k + 6$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-k)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (k + 6) = k^2 - 8(k + 6) = k^2 - 8k - 48$.

Условие $D \le 0$ приводит к неравенству:

$k^2 - 8k - 48 \le 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $k^2 - 8k - 48 = 0$.

Дискриминант для этого уравнения (относительно $k$): $D_k = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 64 + 192 = 256 = 16^2$.

Корни: $k_1 = \frac{8 - 16}{2} = -4$ и $k_2 = \frac{8 + 16}{2} = 12$.

Неравенство можно записать в виде $(k + 4)(k - 12) \le 0$.

Решая это неравенство, находим, что оно выполняется при $-4 \le k \le 12$.

Ответ: $k \in [-4; 12]$.