Номер 156, страница 238, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение - номер 156, страница 238.

Условие.

156 Найдите область определения функции:

а) $y = \sqrt{2x + 8};$

б) $y = \frac{1}{\sqrt{10x^2 - 3x - 1}};$

в) $y = \sqrt{(3x - 18)^{-1}};$

г) $y = \sqrt{10 + 3x - x^2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Для каждой из предложенных функций найдем это множество.

а) $y = \sqrt{2x + 8}$

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Это основное условие для нахождения области определения данной функции.

Составим и решим неравенство:

$2x + 8 \ge 0$

Перенесем 8 в правую часть:

$2x \ge -8$

Разделим обе части на 2:

$x \ge -4$

Таким образом, область определения функции — это все числа, большие или равные -4.

Ответ: $x \in [-4; +\infty)$.

б) $y = \frac{1}{\sqrt{10x^2 - 3x - 1}}$

В данном случае у нас есть два ограничения:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным.
2. Знаменатель дроби не может быть равен нулю.

Объединяя эти два условия, получаем, что выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля.

Составим и решим строгое неравенство:

$10x^2 - 3x - 1 > 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $10x^2 - 3x - 1 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-1) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2 \cdot 10} = \frac{-4}{20} = -\frac{1}{5}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2 \cdot 10} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

Графиком функции $y = 10x^2 - 3x - 1$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как $a = 10 > 0$). Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства — это объединение двух интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; -1/5) \cup (1/2; +\infty)$.

в) $y = \sqrt{(3x - 18)^{-1}}$

Сначала преобразуем функцию, используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$y = \sqrt{\frac{1}{3x - 18}}$

Как и в предыдущем примере, выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен равняться нулю. Выражение $\frac{1}{3x-18}$ будет неотрицательным, только если его знаменатель $3x-18$ будет строго положительным, так как числитель 1 — положительное число.

Составим и решим неравенство:

$3x - 18 > 0$

$3x > 18$

$x > 6$

Область определения — все числа, строго большие 6.

Ответ: $x \in (6; +\infty)$.

г) $y = \sqrt{10 + 3x - x^2}$

Аналогично пункту а), выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:

$10 + 3x - x^2 \ge 0$

Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 3x - 10 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$.

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{3 - 7}{2} = -2$

$x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$

Графиком функции $y = x^2 - 3x - 10$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $x^2 - 3x - 10 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [-2; 5]$.