Номер 148, страница 238, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 148, страница 238.

Условие.

148 а) $2x^2 - 9x + 4 \ge 0$;

б) $-9x^2 - 8x + 1 > 0$;

в) $3x^2 - 4x + 1 \le 0$;

г) $-2x^2 + x + 1 < 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $2x^2 - 9x + 4 \ge 0$
Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $2x^2 - 9x + 4 = 0$.
Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.
Коэффициенты: $a=2$, $b=-9$, $c=4$.
Вычислим дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = \frac{9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 7}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$
$x_2 = \frac{9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4$
Графиком функции $y = 2x^2 - 9x + 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент $a=2 > 0$.
Неравенство $2x^2 - 9x + 4 \ge 0$ выполняется, когда парабола находится на оси $Ox$ или выше нее. Это происходит на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.
Следовательно, решением является объединение промежутков $(-\infty; 0.5]$ и $[4; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0.5] \cup [4; +\infty)$.

б) $-9x^2 - 8x + 1 > 0$
Умножим обе части неравенства на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным. При этом знак неравенства изменится на противоположный:
$9x^2 + 8x - 1 < 0$
Теперь найдем корни уравнения $9x^2 + 8x - 1 = 0$.
Коэффициенты: $a=9$, $b=8$, $c=-1$.
Дискриминант: $D = 8^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-1) = 64 + 36 = 100$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 9} = \frac{-8 - 10}{18} = \frac{-18}{18} = -1$
$x_2 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 9} = \frac{-8 + 10}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$
Графиком функции $y = 9x^2 + 8x - 1$ является парабола с ветвями вверх ($a=9 > 0$).
Неравенство $9x^2 + 8x - 1 < 0$ выполняется, когда парабола находится ниже оси $Ox$. Это происходит на интервале между корнями.
Следовательно, решением является интервал $(-1; \frac{1}{9})$.
Ответ: $x \in (-1; \frac{1}{9})$.

в) $3x^2 - 4x + 1 \le 0$
Найдем корни уравнения $3x^2 - 4x + 1 = 0$.
Коэффициенты: $a=3$, $b=-4$, $c=1$.
Дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$
Графиком функции $y = 3x^2 - 4x + 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=3 > 0$).
Неравенство $3x^2 - 4x + 1 \le 0$ выполняется, когда парабола находится на оси $Ox$ или ниже нее. Это происходит на отрезке между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решением является отрезок $[\frac{1}{3}; 1]$.
Ответ: $x \in [\frac{1}{3}; 1]$.

г) $-2x^2 + x + 1 < 0$
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$2x^2 - x - 1 > 0$
Найдем корни уравнения $2x^2 - x - 1 = 0$.
Коэффициенты: $a=2$, $b=-1$, $c=-1$.
Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$
$x_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$
Графиком функции $y = 2x^2 - x - 1$ является парабола с ветвями вверх ($a=2 > 0$).
Неравенство $2x^2 - x - 1 > 0$ выполняется, когда парабола находится выше оси $Ox$. Это происходит на интервалах левее меньшего корня и правее большего корня.
Следовательно, решением является объединение интервалов $(-\infty; -0.5)$ и $(1; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -0.5) \cup (1; +\infty)$.