Страница 208, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

37.29 a) $2x(3x - 1) > 4x^2 + 5x + 9;$

б) $3x^2 + 40x + 10 < 43 - x(x - 11).$

а)

Решим неравенство $2x(3x - 1) > 4x^2 + 5x + 9$.

Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:

$6x^2 - 2x > 4x^2 + 5x + 9$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство вида $ax^2 + bx + c > 0$:

$6x^2 - 4x^2 - 2x - 5x - 9 > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 7x - 9 > 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 7x - 9 = 0$ с помощью дискриминанта.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 11}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

$x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 11}{4} = \frac{18}{4} = 4.5$

Квадратный трехчлен $2x^2 - 7x - 9$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен, $a=2 > 0$). Следовательно, трехчлен принимает положительные значения (больше нуля) на интервалах вне корней.

Таким образом, решение неравенства — это объединение двух интервалов: $x < -1$ и $x > 4.5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (4.5; +\infty)$

б)

Решим неравенство $3x^2 + 40x + 10 < 43 - x(x - 11)$.

Раскроем скобки в правой части неравенства:

$3x^2 + 40x + 10 < 43 - x^2 + 11x$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$3x^2 + x^2 + 40x - 11x + 10 - 43 < 0$

$4x^2 + 29x - 33 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 + 29x - 33 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 29^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-33) = 841 + 528 = 1369$

Найдем корни уравнения, зная, что $\sqrt{1369} = 37$:

$x_1 = \frac{-29 - 37}{2 \cdot 4} = \frac{-66}{8} = -\frac{33}{4} = -8.25$

$x_2 = \frac{-29 + 37}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$

Мы решаем неравенство $4x^2 + 29x - 33 < 0$. Графиком функции $y = 4x^2 + 29x - 33$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=4 > 0$). Значения функции отрицательны (меньше нуля) на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-\frac{33}{4} < x < 1$.

Ответ: $x \in (-\frac{33}{4}; 1)$

37.30 a) $\frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} - 12 < 0$;

б) $\frac{x^2}{5} + \frac{2x}{3} > \frac{8}{15}$.

а) Чтобы решить неравенство $\frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} - 12 < 0$, сначала приведем его к стандартному виду квадратного неравенства. Для этого умножим все члены неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 4:

$4 \cdot (\frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} - 12) < 4 \cdot 0$

$x^2 + 2x - 48 < 0$

Теперь решим соответствующее квадратное уравнение $x^2 + 2x - 48 = 0$, чтобы найти его корни. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 = 14^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-2 - 14}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

$x_2 = \frac{-2 + 14}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Корни уравнения делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -8)$, $(-8; 6)$ и $(6; +\infty)$. Графиком функции $y = x^2 + 2x - 48$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, значения функции меньше нуля (как требуется в неравенстве) находятся между корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал $(-8; 6)$.

Ответ: $x \in (-8; 6)$.

б) Решим неравенство $\frac{x^2}{5} + \frac{2x}{3} > \frac{8}{15}$. Сначала перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю.

$\frac{x^2}{5} + \frac{2x}{3} - \frac{8}{15} > 0$

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 15:

$15 \cdot \frac{x^2}{5} + 15 \cdot \frac{2x}{3} - 15 \cdot \frac{8}{15} > 15 \cdot 0$

$3x^2 + 10x - 8 > 0$

Теперь решим соответствующее квадратное уравнение $3x^2 + 10x - 8 = 0$ для нахождения его корней. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196 = 14^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-10 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{-24}{6} = -4$

$x_2 = \frac{-10 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Графиком функции $y = 3x^2 + 10x - 8$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $3x^2 + 10x - 8 > 0$ выполняется там, где парабола находится выше оси Ox, то есть за пределами корней.

Следовательно, решением является объединение двух интервалов: $x < -4$ и $x > \frac{2}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$.

37.31 a) $x^4 + 16x^2 - 17 < 0$;

б) $y^4 + 12y^2 - 64 \ge 0$;

в) $x^4 + 6x^2 - 7 > 0$;

г) $z^4 + 3z^2 - 28 \le 0$.

а) $x^4 + 16x^2 - 17 < 0$

Это биквадратное неравенство. Для его решения введем новую переменную.

Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

С учетом замены исходное неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$:

$t^2 + 16t - 17 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 + 16t - 17 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-17) = 256 + 68 = 324 = 18^2$

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 \pm 18}{2}$

$t_1 = \frac{-16 - 18}{2} = -17$

$t_2 = \frac{-16 + 18}{2} = 1$

Разложим левую часть неравенства на множители: $(t - 1)(t + 17) < 0$.

Решением этого неравенства является интервал $-17 < t < 1$.

Теперь учтем ограничение $t \ge 0$. Составим систему:

$\begin{cases} -17 < t < 1 \\ t \ge 0 \end{cases}$

Решением системы является промежуток $0 \le t < 1$.

Выполним обратную замену $t = x^2$:

$0 \le x^2 < 1$

Это двойное неравенство равносильно системе $\begin{cases} x^2 \ge 0 \\ x^2 < 1 \end{cases}$.

Неравенство $x^2 \ge 0$ выполняется для всех действительных $x$.

Решим второе неравенство: $x^2 < 1 \implies x^2 - 1 < 0 \implies (x-1)(x+1) < 0$.

Решением является интервал $(-1, 1)$.

Ответ: $x \in (-1; 1)$.

б) $y^4 + 12y^2 - 64 \ge 0$

Введем замену $t = y^2$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное неравенство: $t^2 + 12t - 64 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 + 12t - 64 = 0$:

$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 144 + 256 = 400 = 20^2$

$t_1 = \frac{-12 - 20}{2} = -16$

$t_2 = \frac{-12 + 20}{2} = 4$

Неравенство можно записать как $(t+16)(t-4) \ge 0$.

Решением являются промежутки $t \le -16$ или $t \ge 4$.

Учитывая условие $t \ge 0$, отбрасываем решение $t \le -16$. Остается $t \ge 4$.

Производим обратную замену:

$y^2 \ge 4 \implies y^2 - 4 \ge 0 \implies (y-2)(y+2) \ge 0$.

Решением этого неравенства является объединение промежутков $y \le -2$ и $y \ge 2$.

Ответ: $y \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.

в) $x^4 + 6x^2 - 7 > 0$

Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Неравенство принимает вид $t^2 + 6t - 7 > 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 + 6t - 7 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = -7$, $t_2 = 1$.

Запишем неравенство в виде $(t+7)(t-1) > 0$.

Решением являются $t < -7$ или $t > 1$.

С учетом ограничения $t \ge 0$ подходит только решение $t > 1$.

Выполним обратную замену:

$x^2 > 1 \implies x^2 - 1 > 0 \implies (x-1)(x+1) > 0$.

Решением является объединение интервалов $x < -1$ и $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

г) $z^4 + 3z^2 - 28 \le 0$

Пусть $t = z^2$, где $t \ge 0$.

Получаем квадратное неравенство $t^2 + 3t - 28 \le 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 + 3t - 28 = 0$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121 = 11^2$

$t_1 = \frac{-3 - 11}{2} = -7$

$t_2 = \frac{-3 + 11}{2} = 4$

Неравенство можно записать как $(t+7)(t-4) \le 0$.

Решением является отрезок $-7 \le t \le 4$.

Учитывая условие $t \ge 0$, получаем $0 \le t \le 4$.

Делаем обратную замену:

$0 \le z^2 \le 4$.

Неравенство $z^2 \ge 0$ верно для всех $z$. Решим $z^2 \le 4$.

$z^2 - 4 \le 0 \implies (z-2)(z+2) \le 0$.

Решением является отрезок $[-2, 2]$.

Ответ: $z \in [-2; 2]$.

37.32 a) $\frac{1}{x^2 - 7x + 12} > 0;$

б) $\frac{-3}{x^2 - x - 20} > 0;$

в) $\frac{3}{42 - x^2 - x} < 0;$

г) $\frac{-5}{2x + 15 - x^2} < 0.$

а)

Решим неравенство $\frac{1}{x^2 - 7x + 12} > 0$.

Поскольку числитель дроби равен 1 (положительное число), дробь будет положительной тогда и только тогда, когда ее знаменатель положителен. Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству:

$x^2 - 7x + 12 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 7x + 12$, решив уравнение $x^2 - 7x + 12 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $y = x^2 - 7x + 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции положительны при $x$ находящихся вне интервала между корнями.

Решением неравенства является объединение интервалов $(-\infty; 3)$ и $(4; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3) \cup (4; \infty)$

б)

Решим неравенство $\frac{-3}{x^2 - x - 20} > 0$.

Поскольку числитель дроби равен -3 (отрицательное число), дробь будет положительной тогда и только тогда, когда ее знаменатель отрицателен. Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству:

$x^2 - x - 20 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 20$, решив уравнение $x^2 - x - 20 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.

Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 9}{2}$.

$x_1 = \frac{1 - 9}{2} = -4$

$x_2 = \frac{1 + 9}{2} = 5$

Графиком функции $y = x^2 - x - 20$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции отрицательны при $x$ находящихся в интервале между корнями.

Решением неравенства является интервал $(-4; 5)$.

Ответ: $x \in (-4; 5)$

в)

Решим неравенство $\frac{3}{42 - x^2 - x} < 0$.

Поскольку числитель дроби равен 3 (положительное число), дробь будет отрицательной тогда и только тогда, когда ее знаменатель отрицателен. Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству:

$42 - x^2 - x < 0$

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 + x - 42 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 42$, решив уравнение $x^2 + x - 42 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна -1, а их произведение равно -42. Корнями являются $x_1 = -7$ и $x_2 = 6$.

Графиком функции $y = x^2 + x - 42$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции положительны при $x$ находящихся вне интервала между корнями.

Решением неравенства является объединение интервалов $(-\infty; -7)$ и $(6; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (6; \infty)$

г)

Решим неравенство $\frac{-5}{2x + 15 - x^2} < 0$.

Поскольку числитель дроби равен -5 (отрицательное число), дробь будет отрицательной тогда и только тогда, когда ее знаменатель положителен. Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству:

$2x + 15 - x^2 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 2x - 15 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 2x - 15$, решив уравнение $x^2 - 2x - 15 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.

Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 8}{2}$.

$x_1 = \frac{2 - 8}{2} = -3$

$x_2 = \frac{2 + 8}{2} = 5$

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 15$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции отрицательны при $x$ находящихся в интервале между корнями.

Решением неравенства является интервал $(-3; 5)$.

Ответ: $x \in (-3; 5)$

37.33 Равносильны ли неравенства:

а) $ \frac{1}{x^2 - 5x - 14} > 0 $ и $ \frac{1}{x^2 - 5x - 14} \ge 0; $

б) $ x^2 + 6x - 16 < 0 $ и $ x^2 + 6x - 16 \le 0; $

в) $ x^2 - 6x + 8 \ge 0 $ и $ (x^2 - 6x + 8)^{-1} \ge 0; $

г) $ \frac{3}{x^2 - 7x - 10} < 0 $ и $ \frac{x^2 - 7x - 10}{3} < 0? $

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы определить, равносильны ли данные пары неравенств, найдем множества решений для каждого из них и сравним их.

а) Сравним неравенства $\frac{1}{x^2 - 5x - 14} > 0$ и $\frac{1}{x^2 - 5x - 14} \ge 0$.

Решим первое неравенство: $\frac{1}{x^2 - 5x - 14} > 0$.
Так как числитель дроби (1) — положительное число, для выполнения неравенства необходимо, чтобы знаменатель также был положительным: $x^2 - 5x - 14 > 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x - 14 = 0$. Используя теорему Виета или формулу корней, получаем $x_1 = -2$ и $x_2 = 7$.
График функции $y = x^2 - 5x - 14$ — это парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями. Следовательно, множество решений первого неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup (7, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $\frac{1}{x^2 - 5x - 14} \ge 0$.
Дробь не может равняться нулю, так как ее числитель равен 1. Поэтому данное неравенство равносильно строгому неравенству $\frac{1}{x^2 - 5x - 14} > 0$.
Решение этого неравенства, как мы уже выяснили, $x \in (-\infty, -2) \cup (7, +\infty)$.

Поскольку множества решений обоих неравенств совпадают, они являются равносильными.
Ответ: Да, равносильны.

б) Сравним неравенства $x^2 + 6x - 16 < 0$ и $x^2 + 6x - 16 \le 0$.

Решим первое неравенство: $x^2 + 6x - 16 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 6x - 16 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -8$ и $x_2 = 2$.
График функции $y = x^2 + 6x - 16$ — парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения в интервале между корнями. Множество решений первого неравенства: $x \in (-8, 2)$.

Решим второе неравенство: $x^2 + 6x - 16 \le 0$.
Данное неравенство выполняется для значений $x$ между корнями, включая сами корни. Множество решений второго неравенства: $x \in [-8, 2]$.

Множество решений первого неравенства $(-8, 2)$ не совпадает с множеством решений второго неравенства $[-8, 2]$, так как второе множество включает концы отрезка, а первое — нет. Следовательно, неравенства не равносильны.
Ответ: Нет, не равносильны.

в) Сравним неравенства $x^2 - 6x + 8 \ge 0$ и $(x^2 - 6x + 8)^{-1} \ge 0$.

Решим первое неравенство: $x^2 - 6x + 8 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.
График функции $y = x^2 - 6x + 8$ — парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения вне интервала между корнями, включая сами корни. Множество решений первого неравенства: $x \in (-\infty, 2] \cup [4, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $(x^2 - 6x + 8)^{-1} \ge 0$.
Перепишем его в виде дроби: $\frac{1}{x^2 - 6x + 8} \ge 0$.
Эта дробь не может равняться нулю. Значит, неравенство равносильно строгому неравенству $\frac{1}{x^2 - 6x + 8} > 0$, что, в свою очередь, равносильно $x^2 - 6x + 8 > 0$. Множество решений этого неравенства: $x \in (-\infty, 2) \cup (4, +\infty)$.

Множества решений $(-\infty, 2] \cup [4, +\infty)$ и $(-\infty, 2) \cup (4, +\infty)$ не совпадают, так как первое включает точки $x=2$ и $x=4$, а второе — нет. Следовательно, неравенства не равносильны.
Ответ: Нет, не равносильны.

г) Сравним неравенства $\frac{3}{x^2 - 7x - 10} < 0$ и $\frac{x^2 - 7x - 10}{3} < 0$.

Решим первое неравенство: $\frac{3}{x^2 - 7x - 10} < 0$.
Так как числитель (3) — положительное число, дробь будет отрицательной, если ее знаменатель отрицателен: $x^2 - 7x - 10 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 7x - 10 = 0$. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49 + 40 = 89$. Корни: $x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{2}$.
Парабола $y=x^2 - 7x - 10$ с ветвями вверх, значит, она принимает отрицательные значения между корнями. Множество решений: $x \in (\frac{7 - \sqrt{89}}{2}, \frac{7 + \sqrt{89}}{2})$.

Решим второе неравенство: $\frac{x^2 - 7x - 10}{3} < 0$.
Умножим обе части неравенства на положительное число 3. Знак неравенства при этом не изменится: $x^2 - 7x - 10 < 0$.
Это неравенство идентично тому, к которому мы свели первое. Следовательно, и множество его решений будет таким же: $x \in (\frac{7 - \sqrt{89}}{2}, \frac{7 + \sqrt{89}}{2})$.

Поскольку множества решений обоих неравенств совпадают, они являются равносильными.
Ответ: Да, равносильны.

37.34 а) Сколько целочисленных решений имеет неравенство $x^2 + 5x - 8 < 0$?

б) Сколько целочисленных решений имеет неравенство $15 - x^2 + 10x \geq 0$?

а) Чтобы найти количество целочисленных решений неравенства $x^2 + 5x - 8 < 0$, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 5x - 8 = 0$.
Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.
В нашем случае $a=1, b=5, c=-8$.
Найдем дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 25 + 32 = 57$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-5 - \sqrt{57}}{2}$ и $x_2 = \frac{-5 + \sqrt{57}}{2}$.
Так как ветви параболы $y = x^2 + 5x - 8$ направлены вверх ($a=1 > 0$), неравенство $x^2 + 5x - 8 < 0$ выполняется между корнями. То есть, $x \in (x_1, x_2)$.
Оценим значения корней. Мы знаем, что $7^2=49$ и $8^2=64$, значит $7 < \sqrt{57} < 8$.
Для $x_1$: $\frac{-5 - 8}{2} < x_1 < \frac{-5 - 7}{2}$, что дает $\frac{-13}{2} < x_1 < \frac{-12}{2}$, или $-6.5 < x_1 < -6$.
Для $x_2$: $\frac{-5 + 7}{2} < x_2 < \frac{-5 + 8}{2}$, что дает $\frac{2}{2} < x_2 < \frac{3}{2}$, или $1 < x_2 < 1.5$.
Таким образом, решение неравенства — это интервал $(\frac{-5 - \sqrt{57}}{2}, \frac{-5 + \sqrt{57}}{2})$, который приблизительно равен $(-6.27, 1.27)$.
Найдем все целые числа, которые принадлежат этому интервалу: -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1.
Подсчитаем их количество: 8.
Ответ: 8

б) Рассмотрим неравенство $15 - x^2 + 10x \geq 0$. Для удобства перепишем его в стандартном виде: $-x^2 + 10x + 15 \geq 0$.
Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный: $x^2 - 10x - 15 \leq 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 10x - 15 = 0$.
Здесь $a=1, b=-10, c=-15$.
Найдем дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 100 + 60 = 160$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{160}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{16 \cdot 10}}{2} = \frac{10 \pm 4\sqrt{10}}{2} = 5 \pm 2\sqrt{10}$.
Итак, $x_1 = 5 - 2\sqrt{10}$ и $x_2 = 5 + 2\sqrt{10}$.
Ветви параболы $y = x^2 - 10x - 15$ направлены вверх ($a=1 > 0$), поэтому неравенство $x^2 - 10x - 15 \leq 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни: $x \in [x_1, x_2]$.
Оценим значения корней. Мы знаем, что $3^2=9$ и $4^2=16$, значит $3 < \sqrt{10} < 4$. Точнее, $3.1^2 = 9.61$ и $3.2^2 = 10.24$, так что $3.1 < \sqrt{10} < 3.2$.
Тогда $2 \cdot 3.1 < 2\sqrt{10} < 2 \cdot 3.2$, то есть $6.2 < 2\sqrt{10} < 6.4$.
Для $x_1$: $5 - 6.4 < x_1 < 5 - 6.2$, что дает $-1.4 < x_1 < -1.2$.
Для $x_2$: $5 + 6.2 < x_2 < 5 + 6.4$, что дает $11.2 < x_2 < 11.4$.
Следовательно, решением неравенства является отрезок $[5 - 2\sqrt{10}, 5 + 2\sqrt{10}]$, который приблизительно равен $[-1.32, 11.32]$.
Найдем все целые числа, которые принадлежат этому отрезку: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
Подсчитаем их количество. Это можно сделать по формуле: $11 - (-1) + 1 = 13$.
Ответ: 13

37.35 а) Найдите наименьшее целочисленное решение неравенства $x^2 + 10x < -12$.

б) Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства $3x^2 + 5x \le 4$.

а) Чтобы найти наименьшее целочисленное решение неравенства $x^2 + 10x < -12$, сначала приведем его к стандартному виду.

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 10x + 12 < 0$

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 10x + 12 = 0$, чтобы определить интервалы знакопостоянства функции $y = x^2 + 10x + 12$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 100 - 48 = 52$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{13}}{2} = -5 \pm \sqrt{13}$

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = -5 - \sqrt{13}$ и $x_2 = -5 + \sqrt{13}$.

Графиком функции $y = x^2 + 10x + 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Следовательно, значения функции будут отрицательными между корнями.

Решением неравенства является интервал $(-5 - \sqrt{13}; -5 + \sqrt{13})$.

Чтобы найти целочисленные решения, оценим границы интервала. Мы знаем, что $3 < \sqrt{13} < 4$ (поскольку $3^2=9$ и $4^2=16$).

Оценим левую границу: $-5 - 4 < -5 - \sqrt{13} < -5 - 3$, то есть $-9 < -5 - \sqrt{13} < -8$.

Оценим правую границу: $-5 + 3 < -5 + \sqrt{13} < -5 + 4$, то есть $-2 < -5 + \sqrt{13} < -1$.

Значит, решение неравенства лежит в интервале, который примерно равен $(-8.6; -1.4)$.

Целые числа, которые принадлежат этому интервалу: -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2.

Наименьшее из этих целых чисел — это -8.

Ответ: -8

б) Чтобы найти наибольшее целочисленное решение неравенства $3x^2 + 5x \le 4$, приведем его к стандартному виду.

Перенесем все члены в левую часть:

$3x^2 + 5x - 4 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 + 5x - 4 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 25 + 48 = 73$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{73}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 \pm \sqrt{73}}{6}$

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-5 - \sqrt{73}}{6}$ и $x_2 = \frac{-5 + \sqrt{73}}{6}$.

Графиком функции $y = 3x^2 + 5x - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=3 > 0$). Следовательно, значения функции будут неположительными (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями.

Решением неравенства является отрезок $[\frac{-5 - \sqrt{73}}{6}; \frac{-5 + \sqrt{73}}{6}]$.

Чтобы найти целочисленные решения, оценим границы отрезка. Мы знаем, что $8 < \sqrt{73} < 9$ (поскольку $8^2=64$ и $9^2=81$).

Оценим левую границу: $\frac{-5 - 9}{6} < \frac{-5 - \sqrt{73}}{6} < \frac{-5 - 8}{6}$, то есть $\frac{-14}{6} < x_1 < \frac{-13}{6}$, или примерно $-2.33 < x_1 < -2.16$.

Оценим правую границу: $\frac{-5 + 8}{6} < \frac{-5 + \sqrt{73}}{6} < \frac{-5 + 9}{6}$, то есть $\frac{3}{6} < x_2 < \frac{4}{6}$, или $0.5 < x_2 < 0.67$.

Значит, решение неравенства лежит в отрезке, который примерно равен $[-2.25; 0.58]$.

Целые числа, которые принадлежат этому отрезку: -2, -1, 0.

Наибольшее из этих целых чисел — это 0.

Ответ: 0

37.36 При каких значениях параметра $p$ квадратное уравнение

$3x^2 - 2px - p + 6 = 0$:

а) имеет два различных корня;

б) имеет один корень;

в) не имеет корней?

Количество корней квадратного уравнения зависит от знака его дискриминанта $D$. Рассмотрим данное квадратное уравнение $3x^2 - 2px - p + 6 = 0$.
Его коэффициенты: $a = 3$, $b = -2p$, $c = -p + 6$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2p)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-p + 6) = 4p^2 - 12(-p + 6) = 4p^2 + 12p - 72$.

Теперь необходимо определить, при каких значениях параметра $p$ дискриминант $D$ будет больше нуля, равен нулю или меньше нуля. Для этого найдем корни квадратного трехчлена $4p^2 + 12p - 72$, решив уравнение $4p^2 + 12p - 72 = 0$.
Разделим все уравнение на 4 для упрощения:
$p^2 + 3p - 18 = 0$.
Найдем корни этого уравнения с помощью теоремы Виета:
$p_1 + p_2 = -3$
$p_1 \cdot p_2 = -18$
Отсюда получаем корни $p_1 = -6$ и $p_2 = 3$.
Графиком функции $y(p) = p^2 + 3p - 18$ является парабола с ветвями, направленными вверх, которая пересекает ось абсцисс в точках $p=-6$ и $p=3$.

а) имеет два различных корня
Уравнение имеет два различных корня, если его дискриминант строго положителен: $D > 0$.
$4p^2 + 12p - 72 > 0$, что эквивалентно $p^2 + 3p - 18 > 0$.
Это неравенство выполняется, когда $p$ находится вне интервала между корнями $(-6, 3)$.
Ответ: при $p \in (-\infty; -6) \cup (3; +\infty)$.

б) имеет один корень
Уравнение имеет один корень (или два совпадающих), если его дискриминант равен нулю: $D = 0$.
$4p^2 + 12p - 72 = 0$, что эквивалентно $p^2 + 3p - 18 = 0$.
Это равенство выполняется в корнях уравнения.
Ответ: при $p = -6$ или $p = 3$.

в) не имеет корней
Уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант отрицателен: $D < 0$.
$4p^2 + 12p - 72 < 0$, что эквивалентно $p^2 + 3p - 18 < 0$.
Это неравенство выполняется, когда $p$ находится между корнями.
Ответ: при $p \in (-6; 3)$.

37.37 При каких значениях параметра p квадратное уравнение

$2x^2 - 2px + p + 12 = 0$:

а) имеет два различных корня;

б) имеет один корень;

в) не имеет корней?

Количество действительных корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ зависит от знака его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Для заданного уравнения $2x^2 - 2px + p + 12 = 0$ определим коэффициенты: $a = 2$, $b = -2p$, $c = p + 12$.

Вычислим дискриминант $D$ как функцию от параметра $p$: $D = b^2 - 4ac = (-2p)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (p + 12) = 4p^2 - 8(p + 12) = 4p^2 - 8p - 96$.

Далее, в зависимости от условия на количество корней, мы будем рассматривать знак дискриминанта $D$. Для этого найдем, при каких значениях $p$ дискриминант обращается в ноль.

Решим уравнение $4p^2 - 8p - 96 = 0$. Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения: $p^2 - 2p - 24 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения можно найти, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 2, а их произведение равно -24. Этим условиям удовлетворяют числа $p_1 = 6$ и $p_2 = -4$.

Таким образом, выражение для дискриминанта $D = 4(p^2 - 2p - 24) = 4(p-6)(p+4)$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх, которая пересекает ось абсцисс в точках $p=-4$ и $p=6$. Это позволяет определить знак $D$ для различных значений $p$.

а) имеет два различных корня;

Уравнение имеет два различных корня, если его дискриминант строго больше нуля: $D > 0$. $4p^2 - 8p - 96 > 0$ $p^2 - 2p - 24 > 0$ $(p+4)(p-6) > 0$
Решением этого неравенства является объединение двух интервалов: $p < -4$ или $p > 6$.
Ответ: $p \in (-\infty; -4) \cup (6; +\infty)$.

б) имеет один корень;

Уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня), если его дискриминант равен нулю: $D = 0$. $4p^2 - 8p - 96 = 0$ $p^2 - 2p - 24 = 0$
Как было найдено ранее, корнями этого уравнения являются $p = -4$ и $p = 6$.
Ответ: $p = -4$ или $p = 6$.

в) не имеет корней?

Уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант меньше нуля: $D < 0$. $4p^2 - 8p - 96 < 0$ $p^2 - 2p - 24 < 0$ $(p+4)(p-6) < 0$
Это неравенство выполняется, когда значение $p$ находится между корнями. $-4 < p < 6$.
Ответ: $p \in (-4; 6)$.