Номер 37.29, страница 208, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.29, страница 208.

Условие.

37.29 a) $2x(3x - 1) > 4x^2 + 5x + 9;$

б) $3x^2 + 40x + 10 < 43 - x(x - 11).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Решим неравенство $2x(3x - 1) > 4x^2 + 5x + 9$.

Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:

$6x^2 - 2x > 4x^2 + 5x + 9$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство вида $ax^2 + bx + c > 0$:

$6x^2 - 4x^2 - 2x - 5x - 9 > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 7x - 9 > 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 7x - 9 = 0$ с помощью дискриминанта.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 11}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

$x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 11}{4} = \frac{18}{4} = 4.5$

Квадратный трехчлен $2x^2 - 7x - 9$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен, $a=2 > 0$). Следовательно, трехчлен принимает положительные значения (больше нуля) на интервалах вне корней.

Таким образом, решение неравенства — это объединение двух интервалов: $x < -1$ и $x > 4.5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (4.5; +\infty)$

б)

Решим неравенство $3x^2 + 40x + 10 < 43 - x(x - 11)$.

Раскроем скобки в правой части неравенства:

$3x^2 + 40x + 10 < 43 - x^2 + 11x$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$3x^2 + x^2 + 40x - 11x + 10 - 43 < 0$

$4x^2 + 29x - 33 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 + 29x - 33 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 29^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-33) = 841 + 528 = 1369$

Найдем корни уравнения, зная, что $\sqrt{1369} = 37$:

$x_1 = \frac{-29 - 37}{2 \cdot 4} = \frac{-66}{8} = -\frac{33}{4} = -8.25$

$x_2 = \frac{-29 + 37}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$

Мы решаем неравенство $4x^2 + 29x - 33 < 0$. Графиком функции $y = 4x^2 + 29x - 33$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=4 > 0$). Значения функции отрицательны (меньше нуля) на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-\frac{33}{4} < x < 1$.

Ответ: $x \in (-\frac{33}{4}; 1)$