Номер 37.24, страница 207, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.24, страница 207.

Условие.

37.24 a) $\sqrt{9 - x^2}$;

б) $\frac{1}{\sqrt{16x^2 - 81}}$;

в) $\sqrt{9x^2 - 1}$;

г) $\frac{1}{\sqrt{4 - 25x^2}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Для того чтобы выражение $\sqrt{9 - x^2}$ имело смысл, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть большим или равным нулю.

Составим и решим неравенство:

$9 - x^2 \ge 0$

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов:

$(3 - x)(3 + x) \ge 0$

Это квадратичное неравенство. Нули функции $y = 9 - x^2$ находятся в точках $x = -3$ и $x = 3$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, неотрицательные значения функция принимает на отрезке между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $-3 \le x \le 3$.

Ответ: $x \in [-3; 3]$.

б)

В данном выражении $\frac{1}{\sqrt{16x^2 - 81}}$ корень находится в знаменателе дроби. Это накладывает два условия: во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а во-вторых, знаменатель не должен быть равен нулю. Объединяя эти два условия, получаем, что подкоренное выражение должно быть строго положительным.

Составим и решим неравенство:

$16x^2 - 81 > 0$

Разложим левую часть на множители:

$(4x - 9)(4x + 9) > 0$

Нули функции $y = 16x^2 - 81$ находятся в точках $x = -\frac{9}{4}$ и $x = \frac{9}{4}$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, положительные значения функция принимает на интервалах вне корней.

Таким образом, решение неравенства: $x < -\frac{9}{4}$ или $x > \frac{9}{4}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2,25) \cup (2,25; +\infty)$.

в)

Для того чтобы выражение $\sqrt{9x^2 - 1}$ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:

$9x^2 - 1 \ge 0$

Разложим левую часть на множители:

$(3x - 1)(3x + 1) \ge 0$

Нули функции $y = 9x^2 - 1$ находятся в точках $x = -\frac{1}{3}$ и $x = \frac{1}{3}$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неотрицательные значения функция принимает на промежутках вне корней, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $x \le -\frac{1}{3}$ или $x \ge \frac{1}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{3}] \cup [\frac{1}{3}; +\infty)$.

г)

В выражении $\frac{1}{\sqrt{4 - 25x^2}}$ корень находится в знаменателе, следовательно, подкоренное выражение должно быть строго положительным.

Составим и решим неравенство:

$4 - 25x^2 > 0$

Разложим левую часть на множители:

$(2 - 5x)(2 + 5x) > 0$

Нули функции $y = 4 - 25x^2$ находятся в точках $x = -\frac{2}{5}$ и $x = \frac{2}{5}$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, положительные значения функция принимает на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $-\frac{2}{5} < x < \frac{2}{5}$.

Ответ: $x \in (-0,4; 0,4)$.