Номер 37.28, страница 207, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.28, страница 207.

Условие.

Решите неравенство:

37.28 a) $5x^2 > 2x$;

б) $\frac{1}{2}x^2 > 12$;

в) $4x \le -x^2$;

г) $\frac{1}{3}x^2 > \frac{1}{9}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Исходное неравенство: $5x^2 > 2x$.

Для решения перенесем все члены в левую часть неравенства:

$5x^2 - 2x > 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(5x - 2) > 0$

Теперь решим это неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x(5x - 2) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $5x - 2 = 0$, откуда $x_2 = \frac{2}{5}$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; \frac{2}{5})$ и $(\frac{2}{5}; +\infty)$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x(5x - 2)$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($5 > 0$). Следовательно, функция принимает положительные значения вне интервала между корнями и отрицательные значения внутри этого интервала.

Нам нужно найти, где $f(x) > 0$. Это происходит на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(\frac{2}{5}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{2}{5}; +\infty)$.

б) Исходное неравенство: $\frac{1}{2}x^2 > 12$.

Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от дроби. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$x^2 > 24$

Перенесем 24 в левую часть:

$x^2 - 24 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 24 = 0$:

$x^2 = 24$, откуда $x = \pm\sqrt{24}$. Упростим корень: $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.

Корни: $x_1 = -2\sqrt{6}$ и $x_2 = 2\sqrt{6}$.

Функция $f(x) = x^2 - 24$ — это парабола с ветвями вверх. Она положительна вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства — это объединение двух интервалов: $(-\infty; -2\sqrt{6})$ и $(2\sqrt{6}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2\sqrt{6}) \cup (2\sqrt{6}; +\infty)$.

в) Исходное неравенство: $4x \le -x^2$.

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 4x \le 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 4) \le 0$

Найдем корни уравнения $x(x + 4) = 0$:

$x_1 = 0$ и $x+4 = 0$, откуда $x_2 = -4$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 + 4x$. Это парабола с ветвями вверх. Она принимает неположительные значения (меньше или равно нулю) на отрезке между корнями, включая сами корни.

Корни в порядке возрастания: -4 и 0. Следовательно, решение неравенства — это отрезок $[-4; 0]$.

Ответ: $x \in [-4; 0]$.

г) Исходное неравенство: $\frac{1}{3}x^2 > \frac{1}{9}$.

Умножим обе части неравенства на 9, чтобы избавиться от знаменателей. Знак неравенства не меняется:

$9 \cdot \frac{1}{3}x^2 > 9 \cdot \frac{1}{9}$

$3x^2 > 1$

Перенесем 1 в левую часть:

$3x^2 - 1 > 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 - 1 = 0$:

$3x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{3} \implies x = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Корни: $x_1 = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $x_2 = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Функция $f(x) = 3x^2 - 1$ — это парабола с ветвями вверх. Она положительна на интервалах вне корней.

Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$.