Номер 37.32, страница 208, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.32, страница 208.

Условие.

37.32 a) $\frac{1}{x^2 - 7x + 12} > 0;$

б) $\frac{-3}{x^2 - x - 20} > 0;$

в) $\frac{3}{42 - x^2 - x} < 0;$

г) $\frac{-5}{2x + 15 - x^2} < 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Решим неравенство $\frac{1}{x^2 - 7x + 12} > 0$.

Поскольку числитель дроби равен 1 (положительное число), дробь будет положительной тогда и только тогда, когда ее знаменатель положителен. Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству:

$x^2 - 7x + 12 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 7x + 12$, решив уравнение $x^2 - 7x + 12 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $y = x^2 - 7x + 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции положительны при $x$ находящихся вне интервала между корнями.

Решением неравенства является объединение интервалов $(-\infty; 3)$ и $(4; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3) \cup (4; \infty)$

б)

Решим неравенство $\frac{-3}{x^2 - x - 20} > 0$.

Поскольку числитель дроби равен -3 (отрицательное число), дробь будет положительной тогда и только тогда, когда ее знаменатель отрицателен. Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству:

$x^2 - x - 20 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 20$, решив уравнение $x^2 - x - 20 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.

Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 9}{2}$.

$x_1 = \frac{1 - 9}{2} = -4$

$x_2 = \frac{1 + 9}{2} = 5$

Графиком функции $y = x^2 - x - 20$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции отрицательны при $x$ находящихся в интервале между корнями.

Решением неравенства является интервал $(-4; 5)$.

Ответ: $x \in (-4; 5)$

в)

Решим неравенство $\frac{3}{42 - x^2 - x} < 0$.

Поскольку числитель дроби равен 3 (положительное число), дробь будет отрицательной тогда и только тогда, когда ее знаменатель отрицателен. Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству:

$42 - x^2 - x < 0$

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 + x - 42 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 42$, решив уравнение $x^2 + x - 42 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна -1, а их произведение равно -42. Корнями являются $x_1 = -7$ и $x_2 = 6$.

Графиком функции $y = x^2 + x - 42$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции положительны при $x$ находящихся вне интервала между корнями.

Решением неравенства является объединение интервалов $(-\infty; -7)$ и $(6; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (6; \infty)$

г)

Решим неравенство $\frac{-5}{2x + 15 - x^2} < 0$.

Поскольку числитель дроби равен -5 (отрицательное число), дробь будет отрицательной тогда и только тогда, когда ее знаменатель положителен. Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству:

$2x + 15 - x^2 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 2x - 15 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 2x - 15$, решив уравнение $x^2 - 2x - 15 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.

Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 8}{2}$.

$x_1 = \frac{2 - 8}{2} = -3$

$x_2 = \frac{2 + 8}{2} = 5$

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 15$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции отрицательны при $x$ находящихся в интервале между корнями.

Решением неравенства является интервал $(-3; 5)$.

Ответ: $x \in (-3; 5)$