Номер 37.37, страница 208, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.37, страница 208.

Условие.

37.37 При каких значениях параметра p квадратное уравнение

$2x^2 - 2px + p + 12 = 0$:

а) имеет два различных корня;

б) имеет один корень;

в) не имеет корней?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Количество действительных корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ зависит от знака его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Для заданного уравнения $2x^2 - 2px + p + 12 = 0$ определим коэффициенты: $a = 2$, $b = -2p$, $c = p + 12$.

Вычислим дискриминант $D$ как функцию от параметра $p$: $D = b^2 - 4ac = (-2p)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (p + 12) = 4p^2 - 8(p + 12) = 4p^2 - 8p - 96$.

Далее, в зависимости от условия на количество корней, мы будем рассматривать знак дискриминанта $D$. Для этого найдем, при каких значениях $p$ дискриминант обращается в ноль.

Решим уравнение $4p^2 - 8p - 96 = 0$. Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения: $p^2 - 2p - 24 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения можно найти, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 2, а их произведение равно -24. Этим условиям удовлетворяют числа $p_1 = 6$ и $p_2 = -4$.

Таким образом, выражение для дискриминанта $D = 4(p^2 - 2p - 24) = 4(p-6)(p+4)$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх, которая пересекает ось абсцисс в точках $p=-4$ и $p=6$. Это позволяет определить знак $D$ для различных значений $p$.

а) имеет два различных корня;

Уравнение имеет два различных корня, если его дискриминант строго больше нуля: $D > 0$. $4p^2 - 8p - 96 > 0$ $p^2 - 2p - 24 > 0$ $(p+4)(p-6) > 0$
Решением этого неравенства является объединение двух интервалов: $p < -4$ или $p > 6$.
Ответ: $p \in (-\infty; -4) \cup (6; +\infty)$.

б) имеет один корень;

Уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня), если его дискриминант равен нулю: $D = 0$. $4p^2 - 8p - 96 = 0$ $p^2 - 2p - 24 = 0$
Как было найдено ранее, корнями этого уравнения являются $p = -4$ и $p = 6$.
Ответ: $p = -4$ или $p = 6$.

в) не имеет корней?

Уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант меньше нуля: $D < 0$. $4p^2 - 8p - 96 < 0$ $p^2 - 2p - 24 < 0$ $(p+4)(p-6) < 0$
Это неравенство выполняется, когда значение $p$ находится между корнями. $-4 < p < 6$.
Ответ: $p \in (-4; 6)$.