Номер 37.39, страница 209, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.39, страница 209.

Условие.

37.39 Найдите все значения параметра p, при которых не имеет действительных корней уравнение:

a) $(p - 1)x^2 - 4x + 5 = 0;$

в) $(2p + 3)x^2 - 6x + 8 = 0;$

б) $(p - 15)x^2 + 4px - 3 = 0;$

г) $(3p - 5)x^2 - (6p - 2)x + 3p - 2 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Чтобы уравнение не имело действительных корней, необходимо рассмотреть два случая для каждого уравнения вида $ax^2+bx+c=0$:

1. Уравнение является линейным (коэффициент $a=0$) и не имеет решений (например, получается равенство вида $0 \cdot x = k$, где $k \neq 0$). Если при $a=0$ уравнение имеет корень, то такое значение параметра $p$ не подходит.

2. Уравнение является квадратным ($a \neq 0$), и его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ отрицателен ($D < 0$).

а) $(p - 1)x^2 - 4x + 5 = 0$

1. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю: $p - 1 = 0$, то есть $p = 1$. Подставим это значение в исходное уравнение: $(1 - 1)x^2 - 4x + 5 = 0$ $-4x + 5 = 0$ $x = \frac{5}{4}$ При $p = 1$ уравнение имеет один действительный корень, следовательно, это значение $p$ нам не подходит.

2. Рассмотрим случай, когда $p \neq 1$. Уравнение является квадратным. Оно не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ отрицателен. Коэффициенты: $a = p - 1$, $b = -4$, $c = 5$. $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(p - 1)(5) = 16 - 20(p - 1) = 16 - 20p + 20 = 36 - 20p$. Решим неравенство $D < 0$: $36 - 20p < 0$ $36 < 20p$ $p > \frac{36}{20}$ $p > \frac{9}{5}$ или $p > 1,8$. Это решение удовлетворяет условию $p \neq 1$.

Ответ: $p \in (1,8; +\infty)$.

б) $(p - 15)x^2 + 4px - 3 = 0$

1. При $p - 15 = 0$, то есть $p = 15$, уравнение становится линейным: $(15 - 15)x^2 + 4(15)x - 3 = 0$ $60x - 3 = 0$ $x = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$ Уравнение имеет действительный корень, значит, $p = 15$ не является решением.

2. При $p \neq 15$ уравнение является квадратным. Найдем, при каких $p$ дискриминант $D$ отрицателен. Коэффициенты: $a = p - 15$, $b = 4p$, $c = -3$. $D = b^2 - 4ac = (4p)^2 - 4(p - 15)(-3) = 16p^2 + 12(p - 15) = 16p^2 + 12p - 180$. Решим неравенство $D < 0$: $16p^2 + 12p - 180 < 0$. Разделим обе части на 4: $4p^2 + 3p - 45 < 0$. Найдем корни уравнения $4p^2 + 3p - 45 = 0$: $p_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-45)}}{2 \cdot 4} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 720}}{8} = \frac{-3 \pm \sqrt{729}}{8} = \frac{-3 \pm 27}{8}$. $p_1 = \frac{-3 - 27}{8} = -\frac{30}{8} = -\frac{15}{4} = -3,75$. $p_2 = \frac{-3 + 27}{8} = \frac{24}{8} = 3$. Так как ветви параболы $y = 4p^2 + 3p - 45$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $-\frac{15}{4} < p < 3$. Данный интервал не содержит $p = 15$.

Ответ: $p \in (-\frac{15}{4}; 3)$.

в) $(2p + 3)x^2 - 6x + 8 = 0$

1. При $2p + 3 = 0$, то есть $p = -1,5$, уравнение становится линейным: $-6x + 8 = 0$, откуда $x = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$. Уравнение имеет корень, поэтому $p = -1,5$ не подходит.

2. При $p \neq -1,5$ уравнение является квадратным. Оно не имеет действительных корней, если $D < 0$. Так как коэффициент $b = -6$ является четным, используем $D_1 = (\frac{b}{2})^2 - ac$. $D_1 = (-3)^2 - (2p + 3) \cdot 8 = 9 - 16p - 24 = -16p - 15$. Решим неравенство $D_1 < 0$: $-16p - 15 < 0$ $-15 < 16p$ $p > -\frac{15}{16}$. Это решение удовлетворяет условию $p \neq -1,5$ (так как $-1,5 = -24/16$).

Ответ: $p \in (-\frac{15}{16}; +\infty)$.

г) $(3p - 5)x^2 - (6p - 2)x + 3p - 2 = 0$

1. При $3p - 5 = 0$, то есть $p = \frac{5}{3}$, уравнение становится линейным: $-(6 \cdot \frac{5}{3} - 2)x + (3 \cdot \frac{5}{3} - 2) = 0$ $-(10 - 2)x + (5 - 2) = 0$ $-8x + 3 = 0$, откуда $x = \frac{3}{8}$. Уравнение имеет корень, поэтому $p = \frac{5}{3}$ не подходит.

2. При $p \neq \frac{5}{3}$ уравнение является квадратным. Найдем, при каких $p$ дискриминант $D$ отрицателен. Коэффициенты: $a = 3p - 5$, $b = -(6p - 2)$, $c = 3p - 2$. $D = b^2 - 4ac = (-(6p - 2))^2 - 4(3p - 5)(3p - 2)$ $D = (6p - 2)^2 - 4(9p^2 - 6p - 15p + 10)$ $D = (36p^2 - 24p + 4) - 4(9p^2 - 21p + 10)$ $D = 36p^2 - 24p + 4 - 36p^2 + 84p - 40$ $D = 60p - 36$. Решим неравенство $D < 0$: $60p - 36 < 0$ $60p < 36$ $p < \frac{36}{60}$ $p < \frac{3}{5}$. Это решение удовлетворяет условию $p \neq \frac{5}{3}$ (так как $\frac{3}{5} = 0,6$ а $\frac{5}{3} \approx 1,67$).

Ответ: $p \in (-\infty; \frac{3}{5})$.