Номер 37.43, страница 209, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.43, страница 209.

Условие.

37.43 При каких значениях параметра $p$ неравенство $x^2 \le 9p^2$ имеет одно целочисленное решение?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Данное неравенство $x^2 \le 9p^2$ является квадратным неравенством относительно переменной $x$. Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 9p^2 \le 0$

Левую часть можно разложить на множители как разность квадратов:

$(x - 3p)(x + 3p) \le 0$

Решением этого неравенства является промежуток между корнями $x_1 = -3p$ и $x_2 = 3p$. Однако, чтобы не рассматривать случаи $p>0$, $p<0$ и $p=0$ по отдельности, удобнее решить исходное неравенство иначе.

Поскольку обе части неравенства $x^2 \le 9p^2$ неотрицательны, можно извлечь квадратный корень из обеих частей:

$\sqrt{x^2} \le \sqrt{9p^2}$

$|x| \le 3|p|$

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-3|p| \le x \le 3|p|$

Решениями неравенства являются все числа $x$, принадлежащие отрезку $[-3|p|, 3|p|]$. По условию задачи, этот отрезок должен содержать ровно одно целое число.

Отрезок $[-3|p|, 3|p|]$ симметричен относительно нуля. Если он содержит какое-либо целое число $k \ne 0$, то он обязательно будет содержать и противоположное ему число $-k$. Таким образом, количество ненулевых целочисленных решений всегда четно. Чтобы общее количество целочисленных решений было равно единице, это единственное решение должно быть $x=0$.

Число 0 всегда является решением, так как для любого $p$ выполняется $-3|p| \le 0 \le 3|p|$.

Чтобы $x=0$ было единственным целочисленным решением, другие целые числа, в частности ближайшие к нулю (1 и -1), не должны принадлежать отрезку $[-3|p|, 3|p|]$. Это означает, что правая граница отрезка должна быть меньше 1, а левая — больше -1.

$3|p| < 1$

и

$-3|p| > -1$

Второе неравенство, после умножения на -1 и смены знака, сводится к первому: $3|p| < 1$. Решим это неравенство относительно $p$:

$|p| < \frac{1}{3}$

Это равносильно двойному неравенству:

$-\frac{1}{3} < p < \frac{1}{3}$

При всех значениях $p$ из этого интервала отрезок решений $[-3|p|, 3|p|]$ будет содержаться внутри интервала $(-1, 1)$, и, следовательно, будет содержать только одно целое число — 0.

Ответ: $p \in (-\frac{1}{3}; \frac{1}{3})$.