Номер 37.42, страница 209, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.42, страница 209.

Условие.

37.42 При каких целочисленных значениях параметра $p$ неравенство $(x-2)(x-p) < 0$ имеет три целочисленных решения?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Данное неравенство $(x-2)(x-p) < 0$ является квадратным. Его решение — это интервал между корнями $x_1 = 2$ и $x_2 = p$. Поскольку параметр $p$ по условию является целым числом, нам нужно найти такие значения $p$, при которых в интервале между $2$ и $p$ содержится ровно три целых числа.

Сначала рассмотрим случай $p=2$. Неравенство принимает вид $(x-2)^2 < 0$. Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, это неравенство не имеет решений. Следовательно, $p \neq 2$.

Теперь рассмотрим два возможных варианта взаимного расположения $p$ и $2$ на числовой оси.

Случай 1: $p < 2$

Решением неравенства является интервал $(p, 2)$. Мы ищем целочисленные решения $x$, удовлетворяющие условию $p < x < 2$. Так как $p$ — целое число, целочисленными решениями будут $p+1, p+2, \dots, 1$. Количество этих решений равно $1 - (p+1) + 1 = 1 - p$. По условию, это количество должно быть равно трем:

$1 - p = 3$

$p = -2$

Это значение удовлетворяет условию $p<2$. При $p=-2$ неравенство имеет вид $(x-2)(x+2) < 0$. Решением является интервал $x \in (-2, 2)$. Целочисленные решения в этом интервале: $-1, 0, 1$. Их ровно три. Следовательно, $p=-2$ является решением задачи.

Случай 2: $p > 2$

Решением неравенства является интервал $(2, p)$. Мы ищем целочисленные решения $x$, удовлетворяющие условию $2 < x < p$. Так как $p$ — целое число, целочисленными решениями будут $3, 4, 5, \dots, p-1$. Количество этих решений равно $(p-1) - 3 + 1 = p-3$. По условию, это количество должно быть равно трем:

$p - 3 = 3$

$p = 6$

Это значение удовлетворяет условию $p>2$. При $p=6$ неравенство имеет вид $(x-2)(x-6) < 0$. Решением является интервал $x \in (2, 6)$. Целочисленные решения в этом интервале: $3, 4, 5$. Их ровно три. Следовательно, $p=6$ также является решением задачи.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют два целочисленных значения параметра $p$.

Ответ: -2, 6.