Номер 37.36, страница 208, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.36, страница 208.

Условие.

37.36 При каких значениях параметра $p$ квадратное уравнение

$3x^2 - 2px - p + 6 = 0$:

а) имеет два различных корня;

б) имеет один корень;

в) не имеет корней?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Количество корней квадратного уравнения зависит от знака его дискриминанта $D$. Рассмотрим данное квадратное уравнение $3x^2 - 2px - p + 6 = 0$.
Его коэффициенты: $a = 3$, $b = -2p$, $c = -p + 6$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2p)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-p + 6) = 4p^2 - 12(-p + 6) = 4p^2 + 12p - 72$.

Теперь необходимо определить, при каких значениях параметра $p$ дискриминант $D$ будет больше нуля, равен нулю или меньше нуля. Для этого найдем корни квадратного трехчлена $4p^2 + 12p - 72$, решив уравнение $4p^2 + 12p - 72 = 0$.
Разделим все уравнение на 4 для упрощения:
$p^2 + 3p - 18 = 0$.
Найдем корни этого уравнения с помощью теоремы Виета:
$p_1 + p_2 = -3$
$p_1 \cdot p_2 = -18$
Отсюда получаем корни $p_1 = -6$ и $p_2 = 3$.
Графиком функции $y(p) = p^2 + 3p - 18$ является парабола с ветвями, направленными вверх, которая пересекает ось абсцисс в точках $p=-6$ и $p=3$.

а) имеет два различных корня
Уравнение имеет два различных корня, если его дискриминант строго положителен: $D > 0$.
$4p^2 + 12p - 72 > 0$, что эквивалентно $p^2 + 3p - 18 > 0$.
Это неравенство выполняется, когда $p$ находится вне интервала между корнями $(-6, 3)$.
Ответ: при $p \in (-\infty; -6) \cup (3; +\infty)$.

б) имеет один корень
Уравнение имеет один корень (или два совпадающих), если его дискриминант равен нулю: $D = 0$.
$4p^2 + 12p - 72 = 0$, что эквивалентно $p^2 + 3p - 18 = 0$.
Это равенство выполняется в корнях уравнения.
Ответ: при $p = -6$ или $p = 3$.

в) не имеет корней
Уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант отрицателен: $D < 0$.
$4p^2 + 12p - 72 < 0$, что эквивалентно $p^2 + 3p - 18 < 0$.
Это неравенство выполняется, когда $p$ находится между корнями.
Ответ: при $p \in (-6; 3)$.