Номер 37.30, страница 208, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.30, страница 208.

Условие.

37.30 a) $\frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} - 12 < 0$;

б) $\frac{x^2}{5} + \frac{2x}{3} > \frac{8}{15}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы решить неравенство $\frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} - 12 < 0$, сначала приведем его к стандартному виду квадратного неравенства. Для этого умножим все члены неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 4:

$4 \cdot (\frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} - 12) < 4 \cdot 0$

$x^2 + 2x - 48 < 0$

Теперь решим соответствующее квадратное уравнение $x^2 + 2x - 48 = 0$, чтобы найти его корни. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 = 14^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-2 - 14}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

$x_2 = \frac{-2 + 14}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Корни уравнения делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -8)$, $(-8; 6)$ и $(6; +\infty)$. Графиком функции $y = x^2 + 2x - 48$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, значения функции меньше нуля (как требуется в неравенстве) находятся между корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал $(-8; 6)$.

Ответ: $x \in (-8; 6)$.

б) Решим неравенство $\frac{x^2}{5} + \frac{2x}{3} > \frac{8}{15}$. Сначала перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю.

$\frac{x^2}{5} + \frac{2x}{3} - \frac{8}{15} > 0$

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 15:

$15 \cdot \frac{x^2}{5} + 15 \cdot \frac{2x}{3} - 15 \cdot \frac{8}{15} > 15 \cdot 0$

$3x^2 + 10x - 8 > 0$

Теперь решим соответствующее квадратное уравнение $3x^2 + 10x - 8 = 0$ для нахождения его корней. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196 = 14^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-10 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{-24}{6} = -4$

$x_2 = \frac{-10 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Графиком функции $y = 3x^2 + 10x - 8$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $3x^2 + 10x - 8 > 0$ выполняется там, где парабола находится выше оси Ox, то есть за пределами корней.

Следовательно, решением является объединение двух интервалов: $x < -4$ и $x > \frac{2}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$.