Номер 37.23, страница 207, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.23, страница 207.

Условие.

Установите, при каких значениях $x$ имеет смысл выражение:

37.23a) $\sqrt{x^2 - 8x + 7}$;

б) $\sqrt{-x^2 + 3x + 4}$;

в) $\sqrt{x^2 - 6x + 5}$;

г) $\sqrt{2 + x - x^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Выражение $\sqrt{x^2 - 8x + 7}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение (радиканд) неотрицательно, то есть больше или равно нулю. Это приводит к следующему неравенству:
$x^2 - 8x + 7 \ge 0$
Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 8x + 7 = 0$.
Мы можем использовать теорему Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = 8$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 7$. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$.
Графиком функции $y = x^2 - 8x + 7$ является парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), ветви параболы направлены вверх.
Неравенство $y \ge 0$ выполняется на тех участках, где парабола находится выше или на оси абсцисс. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $x \le 1$ или $x \ge 7$.
В виде промежутка это записывается как $(-\infty; 1] \cup [7; \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup [7; \infty)$.

б) Выражение $\sqrt{-x^2 + 3x + 4}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:
$-x^2 + 3x + 4 \ge 0$
Чтобы упростить решение, умножим обе части неравенства на -1, не забыв изменить знак неравенства на противоположный:
$x^2 - 3x - 4 \le 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 3$ и $x_1 \cdot x_2 = -4$. Корнями являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.
Графиком функции $y = x^2 - 3x - 4$ является парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1 > 0$).
Неравенство $y \le 0$ выполняется на участке между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $-1 \le x \le 4$.
В виде промежутка это записывается как $[-1; 4]$.
Ответ: $x \in [-1; 4]$.

в) Выражение $\sqrt{x^2 - 6x + 5}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:
$x^2 - 6x + 5 \ge 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 6$ и $x_1 \cdot x_2 = 5$. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.
Графиком функции $y = x^2 - 6x + 5$ является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$).
Неравенство $y \ge 0$ выполняется вне интервала между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $x \le 1$ или $x \ge 5$.
В виде промежутка это записывается как $(-\infty; 1] \cup [5; \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup [5; \infty)$.

г) Выражение $\sqrt{2 + x - x^2}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:
$2 + x - x^2 \ge 0$
Перепишем неравенство в стандартном виде: $-x^2 + x + 2 \ge 0$.
Умножим неравенство на -1 и изменим знак на противоположный:
$x^2 - x - 2 \le 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$ и $x_1 \cdot x_2 = -2$. Корнями являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.
Графиком функции $y = x^2 - x - 2$ является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$).
Неравенство $y \le 0$ выполняется на участке между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $-1 \le x \le 2$.
В виде промежутка это записывается как $[-1; 2]$.
Ответ: $x \in [-1; 2]$.