Номер 37.16, страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.16, страница 206.

Условие.

37.16 a) $4x^2 - 9 < 0;$

б) $16 - 25x^2 \leq 0;$

в) $25x^2 - 36 > 0;$

г) $64 - 49x^2 \geq 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Для решения неравенства $4x^2 - 9 < 0$ сначала найдем корни соответствующего уравнения $4x^2 - 9 = 0$.

Левая часть уравнения представляет собой разность квадратов: $(2x)^2 - 3^2 = 0$.

Разложим на множители: $(2x - 3)(2x + 3) = 0$.

Отсюда находим корни: $x_1 = -3/2 = -1,5$ и $x_2 = 3/2 = 1,5$.

Функция $y = 4x^2 - 9$ является квадратичной, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен: $4 > 0$).

Следовательно, значения функции отрицательны на интервале между корнями.

Поскольку неравенство строгое (<), сами корни не включаются в решение.

Ответ: $x \in (-1,5; 1,5)$.

б)

Для решения неравенства $16 - 25x^2 \le 0$ найдем корни уравнения $16 - 25x^2 = 0$.

Используя формулу разности квадратов, получаем: $4^2 - (5x)^2 = 0$, или $(4 - 5x)(4 + 5x) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = -4/5 = -0,8$ и $x_2 = 4/5 = 0,8$.

Функция $y = 16 - 25x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицателен: $-25 < 0$).

Значит, значения функции отрицательны или равны нулю вне интервала между корнями.

Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), корни включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,8] \cup [0,8; \infty)$.

в)

Для решения неравенства $25x^2 - 36 > 0$ найдем корни уравнения $25x^2 - 36 = 0$.

Разложим левую часть по формуле разности квадратов: $(5x)^2 - 6^2 = 0$, или $(5x - 6)(5x + 6) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = -6/5 = -1,2$ и $x_2 = 6/5 = 1,2$.

Функция $y = 25x^2 - 36$ — это парабола с ветвями, направленными вверх ($25 > 0$). Следовательно, значения функции положительны вне интервала между корнями.

Так как неравенство строгое ($>$), сами корни в решение не входят.

Ответ: $x \in (-\infty; -1,2) \cup (1,2; \infty)$.

г)

Для решения неравенства $64 - 49x^2 \ge 0$ найдем корни уравнения $64 - 49x^2 = 0$.

Разложим левую часть на множители: $8^2 - (7x)^2 = 0$, или $(8 - 7x)(8 + 7x) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = -8/7$ и $x_2 = 8/7$.

Функция $y = 64 - 49x^2$ — это парабола с ветвями, направленными вниз ($-49 < 0$). Следовательно, значения функции положительны или равны нулю на интервале между корнями.

Так как неравенство нестрогое ($\ge$), решением является отрезок, включающий концы.

Ответ: $x \in [-8/7; 8/7]$.