Номер 37.10, страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.10, страница 206.

Условие.

37.10 а) $-7x^2 + 5x - 2 < 0;$

б) $-3x^2 - 3x - 1 \le 0;$

в) $-2x^2 + 3x - 2 \ge 0;$

г) $-5x^2 - x - 1 > 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Решим неравенство $-7x^2 + 5x - 2 < 0$.

Для решения этого квадратного неравенства рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = -7x^2 + 5x - 2$. Графиком этой функции является парабола. Так как старший коэффициент $a = -7$ отрицательный, ветви параболы направлены вниз.

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (Ox), для чего решим квадратное уравнение $-7x^2 + 5x - 2 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4(-7)(-2) = 25 - 56 = -31$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox.

Так как ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось Ox, вся парабола расположена ниже оси абсцисс. Следовательно, значение функции $y = -7x^2 + 5x - 2$ является отрицательным при любом действительном значении $x$.

Таким образом, неравенство $-7x^2 + 5x - 2 < 0$ выполняется для всех $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Решим неравенство $-3x^2 - 3x - 1 \le 0$.

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -3x^2 - 3x - 1$. Это парабола с ветвями, направленными вниз, так как старший коэффициент $a = -3 < 0$.

Найдем нули функции, решив уравнение $-3x^2 - 3x - 1 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4(-3)(-1) = 9 - 12 = -3$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.

Поскольку ветви параболы направлены вниз и она не имеет точек пересечения с осью Ox, вся парабола находится ниже оси Ox. Это значит, что выражение $-3x^2 - 3x - 1$ всегда принимает строго отрицательные значения.

Неравенство $-3x^2 - 3x - 1 \le 0$ требует, чтобы выражение было меньше или равно нулю. Так как оно всегда меньше нуля, неравенство выполняется для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

в) Решим неравенство $-2x^2 + 3x - 2 \ge 0$.

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -2x^2 + 3x - 2$. Ветви соответствующей параболы направлены вниз ($a = -2 < 0$).

Найдем нули функции, решив уравнение $-2x^2 + 3x - 2 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = 3^2 - 4(-2)(-2) = 9 - 16 = -7$.

Дискриминант $D < 0$, поэтому действительных корней нет, и парабола не пересекает ось Ox.

Так как ветви направлены вниз и пересечений с осью Ox нет, вся парабола лежит ниже оси Ox. Это означает, что выражение $-2x^2 + 3x - 2$ всегда отрицательно для любого $x$.

Неравенство требует, чтобы выражение было больше или равно нулю. Поскольку оно всегда отрицательно, не существует таких значений $x$, при которых неравенство было бы верным.

Ответ: нет решений.

г) Решим неравенство $-5x^2 - x - 1 > 0$.

Рассмотрим функцию $y = -5x^2 - x - 1$. Это парабола с ветвями, направленными вниз ($a = -5 < 0$).

Найдем нули функции из уравнения $-5x^2 - x - 1 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4(-5)(-1) = 1 - 20 = -19$.

Так как $D < 0$, действительных корней нет. Парабола не пересекает ось Ox.

Поскольку ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось Ox, вся парабола находится ниже оси Ox. Значит, выражение $-5x^2 - x - 1$ всегда принимает отрицательные значения.

Неравенство требует, чтобы выражение было строго больше нуля. Так как оно всегда отрицательно, у неравенства нет решений.

Ответ: нет решений.