Номер 37.3, страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.3, страница 205.

Условие.

37.3 а) $-x^2 + 6x - 5 < 0;$

б) $-x^2 - 2x + 8 \ge 0;$

в) $-x^2 + 16x - 28 > 0;$

г) $-x^2 + 4x - 3 \le 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

a)

Решим неравенство $-x^2 + 6x - 5 < 0$.

Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 6x + 5 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета:

$x_1 + x_2 = 6$

$x_1 \cdot x_2 = 5$

Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Графиком функции $y = x^2 - 6x + 5$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).

Следовательно, функция принимает положительные значения ($y > 0$) при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение неравенства: $x < 1$ или $x > 5$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$

б)

Решим неравенство $-x^2 - 2x + 8 \ge 0$.

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства:

$x^2 + 2x - 8 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 6}{2} = -4$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 6}{2} = 2$

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 8$ является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$).

Функция принимает неположительные значения ($y \le 0$) между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $-4 \le x \le 2$.

Ответ: $x \in [-4; 2]$

в)

Решим неравенство $-x^2 + 16x - 28 > 0$.

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства:

$x^2 - 16x + 28 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 16x + 28 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 256 - 112 = 144 = 12^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - 12}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + 12}{2} = 14$

Графиком функции $y = x^2 - 16x + 28$ является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$).

Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $2 < x < 14$.

Ответ: $x \in (2; 14)$

г)

Решим неравенство $-x^2 + 4x - 3 \le 0$.

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства:

$x^2 - 4x + 3 \ge 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 4$

$x_1 \cdot x_2 = 3$

Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 4x + 3$ является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$).

Функция принимает неотрицательные значения ($y \ge 0$) при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $x \le 1$ или $x \ge 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup [3; +\infty)$