Номер 37.7, страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.7, страница 205.

Условие.

37.7 a) $x^2 - 6x + 9 \le 0;$

б) $-x^2 + 12x - 36 > 0;$

в) $x^2 - 16x + 64 \ge 0;$

г) $-x^2 + 4x - 4 < 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Дано неравенство $x^2 - 6x + 9 \le 0$. Левая часть этого неравенства представляет собой полный квадрат разности, так как $x^2 - 6x + 9 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$. Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству $(x-3)^2 \le 0$. Выражение в левой части, будучи квадратом действительного числа, всегда неотрицательно, то есть $(x-3)^2 \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, неравенство $(x-3)^2 \le 0$ выполняется только тогда, когда $(x-3)^2 = 0$. Это уравнение имеет единственный корень $x=3$.

Ответ: $3$.

б) Дано неравенство $-x^2 + 12x - 36 > 0$. Для удобства умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 12x + 36 < 0$. Левая часть представляет собой полный квадрат разности: $x^2 - 12x + 36 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = (x-6)^2$. Неравенство принимает вид $(x-6)^2 < 0$. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Таким образом, это неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений.

в) Дано неравенство $x^2 - 16x + 64 \ge 0$. Левая часть неравенства является полным квадратом разности: $x^2 - 16x + 64 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 = (x-8)^2$. Неравенство можно переписать в виде $(x-8)^2 \ge 0$. Так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю), это неравенство выполняется при любом действительном значении $x$.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

г) Дано неравенство $-x^2 + 4x - 4 < 0$. Умножим обе части неравенства на $-1$, не забыв изменить знак неравенства на противоположный: $x^2 - 4x + 4 > 0$. Левая часть - это полный квадрат разности: $x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x-2)^2$. Неравенство принимает вид $(x-2)^2 > 0$. Квадрат действительного числа всегда неотрицателен. Он равен нулю только в том случае, если само число равно нулю. В данном случае $(x-2)^2=0$ при $x=2$. Для всех остальных значений $x$ выражение $(x-2)^2$ будет строго больше нуля. Следовательно, решением неравенства являются все действительные числа, кроме $x=2$.

Ответ: $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.