Номер 37.1, страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.1, страница 205.

Условие.

37.1 Постройте график функции $y = x^2 - 4x + 3$. С помощью графика решите неравенство:

а) $x^2 - 4x + 3 > 0;$

б) $x^2 - 4x + 3 \le 0;$

в) $x^2 - 4x + 3 < 0;$

г) $x^2 - 4x + 3 \ge 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи сначала построим график функции $y = x^2 - 4x + 3$.

Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$ ($a=1$), он положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

1. Найдём координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$.
Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $a=1, b=-4, c=3$.
$x_в = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.
Ордината вершины — это значение функции в точке $x_в$:
$y_в = y(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, -1)$.

2. Найдём точки пересечения графика с осями координат.
Пересечение с осью ординат (Oy): $x=0$.
$y(0) = 0^2 - 4(0) + 3 = 3$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 3)$.

Пересечение с осью абсцисс (Ox): $y=0$.
$x^2 - 4x + 3 = 0$.
Это квадратное уравнение. Решим его. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 4$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = 3$. Отсюда находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Точки пересечения с осью Ox: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

3. Построение графика.
Мы имеем следующие ключевые точки: вершина $(2, -1)$, точки пересечения с осью Ox $(1, 0)$ и $(3, 0)$, точка пересечения с осью Oy $(0, 3)$. Ось симметрии параболы — прямая $x=2$. График представляет собой параболу с ветвями вверх, проходящую через эти точки.

Теперь с помощью построенного графика решим неравенства.

а) $x^2 - 4x + 3 > 0$
Это неравенство соответствует тем значениям $x$, при которых график функции $y = x^2 - 4x + 3$ находится выше оси абсцисс (Ox), то есть где $y > 0$. Глядя на график, мы видим, что это происходит на интервалах левее точки $x=1$ и правее точки $x=3$.
Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.

б) $x^2 - 4x + 3 \leq 0$
Это неравенство соответствует тем значениям $x$, при которых график функции находится на оси абсцисс или ниже неё, то есть где $y \leq 0$. Глядя на график, мы видим, что это происходит на отрезке между точками $x=1$ и $x=3$, включая сами эти точки.
Ответ: $x \in [1, 3]$.

в) $x^2 - 4x + 3 < 0$
Это неравенство соответствует тем значениям $x$, при которых график функции находится строго ниже оси абсцисс, то есть где $y < 0$. Глядя на график, мы видим, что это происходит на интервале между точками $x=1$ и $x=3$, не включая сами эти точки.
Ответ: $x \in (1, 3)$.

г) $x^2 - 4x + 3 \geq 0$
Это неравенство соответствует тем значениям $x$, при которых график функции находится на оси абсцисс или выше неё, то есть где $y \geq 0$. Глядя на график, мы видим, что это происходит на промежутках левее точки $x=1$ и правее точки $x=3$, включая сами эти точки.
Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty)$.