Номер 37.5, страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.5, страница 205.

Условие.

37.5 а) $-5x^2 + 4x + 1 > 0;$

б) $-2x^2 - 5x + 18 \le 0;$

в) $-6x^2 + 13x + 5 < 0;$

г) $-3x^2 + 5x - 2 \ge 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Решим неравенство $-5x^2 + 4x + 1 > 0$.

Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $-5x^2 + 4x + 1 = 0$. Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным: $5x^2 - 4x - 1 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 \pm 6}{10}$.

$x_1 = \frac{4 - 6}{10} = -\frac{2}{10} = -0.2$

$x_2 = \frac{4 + 6}{10} = \frac{10}{10} = 1$

Исходное неравенство $-5x^2 + 4x + 1 > 0$ описывает параболу, ветви которой направлены вниз (т.к. коэффициент $a=-5 < 0$). Следовательно, квадратичная функция принимает положительные значения между корнями.

Ответ: $x \in (-0.2; 1)$.

б) Решим неравенство $-2x^2 - 5x + 18 \le 0$.

Найдем корни уравнения $-2x^2 - 5x + 18 = 0$. Умножим на $-1$: $2x^2 + 5x - 18 = 0$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 25 + 144 = 169$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 13}{4}$.

$x_1 = \frac{-5 - 13}{4} = -\frac{18}{4} = -4.5$

$x_2 = \frac{-5 + 13}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Ветви параболы $y = -2x^2 - 5x + 18$ направлены вниз ($a=-2 < 0$). Функция принимает неположительные значения ($\le 0$) на промежутках вне интервала между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty; -4.5] \cup [2; \infty)$.

в) Решим неравенство $-6x^2 + 13x + 5 < 0$.

Найдем корни уравнения $-6x^2 + 13x + 5 = 0$. Умножим на $-1$: $6x^2 - 13x - 5 = 0$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 169 + 120 = 289$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{13 \pm 17}{12}$.

$x_1 = \frac{13 - 17}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{13 + 17}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} = 2.5$

Ветви параболы $y = -6x^2 + 13x + 5$ направлены вниз ($a=-6 < 0$). Функция принимает отрицательные значения ($< 0$) на промежутках вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (2.5; \infty)$.

г) Решим неравенство $-3x^2 + 5x - 2 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $-3x^2 + 5x - 2 = 0$. Умножим на $-1$: $3x^2 - 5x + 2 = 0$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 1}{6}$.

$x_1 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Ветви параболы $y = -3x^2 + 5x - 2$ направлены вниз ($a=-3 < 0$). Функция принимает неотрицательные значения ($\ge 0$) на промежутке между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [\frac{2}{3}; 1]$.