Номер 36.36, страница 204, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 36. Решение линейных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 36.36, страница 204.

Условие.

36.36 Чтобы попасть из посёлка $A$ в посёлок $B$, нужно доехать по шоссе до пункта $C$, а затем свернуть на просёлочную дорогу. Путь от $A$ до $C$ на 15 км длиннее, чем путь от $C$ до $B$. Скорость мотоциклиста на шоссе равна 50 км/ч, а на просёлочной дороге 40 км/ч, причём на весь путь от $A$ до $B$ он тратит менее трёх часов. Чему равно расстояние от $A$ до $C$, если известно, что оно выражается целым числом десятков километров?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи введем переменные и составим неравенство на основе условий.

Пусть $x$ км — это расстояние от посёлка А до пункта С. Так как по условию путь от А до С на 15 км длиннее, чем путь от С до В, то расстояние от С до В равно $(x - 15)$ км. Поскольку расстояние не может быть отрицательным или равным нулю (путь существует), должно выполняться условие $x - 15 > 0$, откуда $x > 15$.

Скорость мотоциклиста на участке АС (шоссе) равна $v_1 = 50$ км/ч, а на участке СВ (просёлочная дорога) — $v_2 = 40$ км/ч.

Время, затраченное на путь от А до С, равно $t_1 = \frac{S_{AC}}{v_1} = \frac{x}{50}$ часов.
Время, затраченное на путь от С до В, равно $t_2 = \frac{S_{CB}}{v_2} = \frac{x - 15}{40}$ часов.

Общее время в пути от А до В составляет $T = t_1 + t_2$. По условию, мотоциклист тратит на весь путь менее трёх часов, то есть $T < 3$.Составим неравенство:

$\frac{x}{50} + \frac{x - 15}{40} < 3$

Чтобы решить это неравенство, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 50 и 40 — это 200. Умножим обе части неравенства на 200:

$200 \cdot \frac{x}{50} + 200 \cdot \frac{x - 15}{40} < 3 \cdot 200$

$4x + 5(x - 15) < 600$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$4x + 5x - 75 < 600$

$9x - 75 < 600$

$9x < 600 + 75$

$9x < 675$

$x < \frac{675}{9}$

$x < 75$

Итак, мы получили два ограничения для расстояния $x$:
1. $x > 15$
2. $x < 75$

Таким образом, расстояние от А до С должно быть в пределах $15 < x < 75$.

В условии также сказано, что расстояние от А до С выражается целым числом десятков километров. Это означает, что $x$ должно быть кратно 10. Найдём все такие значения $x$, которые удовлетворяют неравенству $15 < x < 75$:

$x \in \{20, 30, 40, 50, 60, 70\}$

Все эти значения являются формально правильными решениями. Однако, формулировка вопроса «Чему равно расстояние...» предполагает единственный ответ. В таких задачах, когда получается диапазон возможных решений, часто требуется найти предельное значение, удовлетворяющее всем условиям. Условие «менее трёх часов» накладывает верхний предел на расстояние. Логично предположить, что нужно найти наибольшее возможное расстояние. Самое большое целое число десятков километров, которое меньше 75, — это 70.

Проверим это значение:
Если расстояние от А до С равно 70 км, то расстояние от С до В равно $70 - 15 = 55$ км.
Общее время в пути: $T = \frac{70}{50} + \frac{55}{40} = 1.4 + 1.375 = 2.775$ часа.
$2.775 < 3$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 70 км