Номер 37.2, страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.2, страница 205.

Условие.

Решите неравенство:

37.2 а) $x^2 - 6x - 7 > 0;$

б) $x^2 + 2x - 48 \le 0;$

в) $x^2 + 4x + 3 \ge 0;$

г) $x^2 - 12x - 45 < 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $x^2 - 6x - 7 > 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение, для которого можно использовать теорему Виета, или общую формулу корней.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-6) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Графиком функции $y = x^2 - 6x - 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -1$ и $x = 7$.

Неравенство $x^2 - 6x - 7 > 0$ выполняется, когда значения функции положительны, то есть когда график функции находится выше оси Ox. Для параболы с ветвями вверх это происходит на интервалах левее меньшего корня и правее большего корня.

Следовательно, решение неравенства: $x < -1$ или $x > 7$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (7; \infty)$.

б) $x^2 + 2x - 48 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 2x - 48 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 14}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 14}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 48$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -8$ и $x = 6$.

Неравенство $x^2 + 2x - 48 \le 0$ выполняется, когда значения функции неположительны, то есть когда график функции находится ниже или на оси Ox. Для параболы с ветвями вверх это происходит на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства: $-8 \le x \le 6$.

Ответ: $x \in [-8; 6]$.

в) $x^2 + 4x + 3 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Графиком функции $y = x^2 + 4x + 3$ является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$), пересекающая ось Ox в точках $x = -3$ и $x = -1$.

Неравенство $x^2 + 4x + 3 \ge 0$ выполняется, когда значения функции неотрицательны, то есть когда график функции находится выше или на оси Ox. Это происходит на интервалах левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства: $x \le -3$ или $x \ge -1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [-1; \infty)$.

г) $x^2 - 12x - 45 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 12x - 45 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 144 + 180 = 324$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-12) - \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 18}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$x_2 = \frac{-(-12) + \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 18}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Графиком функции $y = x^2 - 12x - 45$ является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$), пересекающая ось Ox в точках $x = -3$ и $x = 15$.

Неравенство $x^2 - 12x - 45 < 0$ выполняется, когда значения функции отрицательны, то есть когда график функции находится ниже оси Ox. Для параболы с ветвями вверх это происходит на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-3 < x < 15$.

Ответ: $x \in (-3; 15)$.