Номер 37.4, страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.4, страница 205.

Условие.

37.4 а) $2x^2 - x - 6 > 0;$

б) $3x^2 - 7x + 4 \le 0;$

в) $2x^2 + 3x + 1 < 0;$

г) $5x^2 - 11x + 2 \ge 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $2x^2 - x - 6 > 0$

Для решения данного квадратного неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - x - 6 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$
$x_2 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Графиком функции $y = 2x^2 - x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент $a=2$ положителен. Парабола пересекает ось Ох в точках $x = -1.5$ и $x = 2$.

Неравенство $2x^2 - x - 6 > 0$ выполняется, когда график функции находится выше оси Ох. Это происходит на интервалах левее меньшего корня и правее большего корня.

Ответ: $x \in (-\infty; -1.5) \cup (2; +\infty)$.

б) $3x^2 - 7x + 4 \le 0$

Решим это неравенство, найдя корни уравнения $3x^2 - 7x + 4 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$.

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$
$x_2 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Графиком функции $y = 3x^2 - 7x + 4$ является парабола с ветвями вверх ($a=3 > 0$), пересекающая ось Ох в точках $x=1$ и $x=\frac{4}{3}$.

Неравенство $3x^2 - 7x + 4 \le 0$ выполняется, когда график функции находится на оси Ох или ниже нее. Это происходит на отрезке между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [1; \frac{4}{3}]$.

в) $2x^2 + 3x + 1 < 0$

Сначала найдем корни квадратного уравнения $2x^2 + 3x + 1 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$
$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Ветви параболы $y = 2x^2 + 3x + 1$ направлены вверх ($a=2 > 0$). Корни, где парабола пересекает ось Ох, равны $x=-1$ и $x=-0.5$.

Неравенство $2x^2 + 3x + 1 < 0$ выполняется, когда график функции находится строго ниже оси Ох. Это происходит на интервале между корнями.

Ответ: $x \in (-1; -0.5)$.

г) $5x^2 - 11x + 2 \ge 0$

Найдем корни уравнения $5x^2 - 11x + 2 = 0$, чтобы определить интервалы знакопостоянства.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81$.

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{11 - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{11 - 9}{10} = \frac{2}{10} = 0.2$
$x_2 = \frac{11 + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{11 + 9}{10} = \frac{20}{10} = 2$

Парабола $y = 5x^2 - 11x + 2$ имеет ветви, направленные вверх ($a=5 > 0$), и пересекает ось Ох в точках $x=0.2$ и $x=2$.

Неравенство $5x^2 - 11x + 2 \ge 0$ выполняется, когда график функции находится на оси Ох или выше нее. Это происходит на лучах левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty; 0.2] \cup [2; +\infty)$.