Номер 37.11, страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.11, страница 206.

Условие.

37.11 а) $x^2 - 2x - 1 > 0;$

б) $-4x^2 + 2x - \frac{1}{4} \le 0;$

в) $-x^2 - 2x + 2 < 0;$

г) $2x^2 + 2x - 1 \ge 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $x^2 - 2x - 1 > 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 1 = 0$.

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

Корни уравнения: $x_1 = 1 - \sqrt{2}$ и $x_2 = 1 + \sqrt{2}$.

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля). Парабола пересекает ось Ox в точках $1 - \sqrt{2}$ и $1 + \sqrt{2}$.

Неравенство $x^2 - 2x - 1 > 0$ выполняется там, где график параболы находится выше оси Ox, то есть левее меньшего корня и правее большего корня.

Следовательно, решение неравенства: $x < 1 - \sqrt{2}$ или $x > 1 + \sqrt{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1 - \sqrt{2}) \cup (1 + \sqrt{2}; +\infty)$.

б) $-4x^2 + 2x - \frac{1}{4} \leq 0$

Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$4x^2 - 2x + \frac{1}{4} \geq 0$

Найдем корни уравнения $4x^2 - 2x + \frac{1}{4} = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot \frac{1}{4} = 4 - 4 = 0$

Так как $D = 0$, уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня):

$x = \frac{-b}{2a} = \frac{2}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Можно также заметить, что левая часть является полным квадратом: $4x^2 - 2x + \frac{1}{4} = (2x - \frac{1}{2})^2$.

Тогда неравенство принимает вид $(2x - \frac{1}{2})^2 \geq 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Следовательно, это неравенство выполняется для любых значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

в) $-x^2 - 2x + 2 < 0$

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства:

$x^2 + 2x - 2 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 2 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$

Корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$

Корни: $x_1 = -1 - \sqrt{3}$ и $x_2 = -1 + \sqrt{3}$.

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Она пересекает ось Ox в точках $-1 - \sqrt{3}$ и $-1 + \sqrt{3}$.

Неравенство $x^2 + 2x - 2 > 0$ выполняется, когда график параболы находится выше оси Ox. Это происходит при значениях $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.

Ответ: $x \in (-\infty; -1 - \sqrt{3}) \cup (-1 + \sqrt{3}; +\infty)$.

г) $2x^2 + 2x - 1 \geq 0$

Рассмотрим соответствующее уравнение $2x^2 + 2x - 1 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Корни: $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}$ и $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}$.

Графиком функции $y = 2x^2 + 2x - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент 2 > 0). Парабола пересекает ось Ox в найденных точках.

Неравенство $2x^2 + 2x - 1 \geq 0$ выполняется там, где график параболы находится на оси Ox или выше нее. Это происходит в точках, равных корням, а также левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение: $x \leq \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}$ или $x \geq \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}] \cup [\frac{-1 + \sqrt{3}}{2}; +\infty)$.