Номер 37.15, страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.15, страница 206.

Условие.

37.15 a) $x^2 - 36 > 0;$

б) $x^2 + 7 < 0;$

в) $x^2 - 25 < 0;$

г) $x^2 + 15 > 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $x^2 - 36 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 36 = 0$.

Это уравнение можно решить, перенеся 36 в правую часть:

$x^2 = 36$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = \sqrt{36} = 6$ и $x_2 = -\sqrt{36} = -6$.

Эти корни разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -6)$, $(-6, 6)$ и $(6, +\infty)$.

Функция $y = x^2 - 36$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Это означает, что функция принимает положительные значения вне интервала между корнями и отрицательные значения внутри этого интервала.

Нас интересует, где $x^2 - 36 > 0$, то есть где функция положительна. Это происходит на интервалах $(-\infty, -6)$ и $(6, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty)$

б) $x^2 + 7 < 0$

Рассмотрим выражение в левой части неравенства: $x^2 + 7$.

Квадрат любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$.

Если к неотрицательному числу $x^2$ прибавить положительное число 7, то результат всегда будет больше или равен 7:

$x^2 + 7 \ge 0 + 7 = 7$

Таким образом, выражение $x^2 + 7$ всегда положительно и его наименьшее значение равно 7. Следовательно, оно никогда не может быть меньше нуля.

Ответ: решений нет.

в) $x^2 - 25 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $x^2 - 25 = 0$.

Перенесем 25 в правую часть:

$x^2 = 25$

Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Эти корни разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -5)$, $(-5, 5)$ и $(5, +\infty)$.

Функция $y = x^2 - 25$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Значит, функция принимает отрицательные значения на интервале между корнями.

Нас интересует, где $x^2 - 25 < 0$, то есть где функция отрицательна. Это происходит на интервале $(-5, 5)$.

Ответ: $x \in (-5; 5)$

г) $x^2 + 15 > 0$

Рассмотрим выражение в левой части неравенства: $x^2 + 15$.

Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного числа $x$: $x^2 \ge 0$.

Сумма неотрицательного числа $x^2$ и положительного числа 15 всегда будет положительна:

$x^2 + 15 \ge 0 + 15 = 15$

Так как $x^2 + 15$ всегда больше или равно 15, то это выражение всегда больше 0 для любого значения $x$.

Ответ: $x$ — любое действительное число, или $x \in (-\infty; +\infty)$.