Номер 37.14, страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.14, страница 206.

Условие.

37.14 a) $(2x + 1)(3x + 2) < 0;$

б) $(3 - 4x)(2x - 5) \le 0;$

в) $(7x + 3)(4x - 1) > 0;$

г) $(1 - 2x)(3 + x) \le 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $(2x + 1)(3x + 2) < 0$

Для решения этого квадратного неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения, приравняв левую часть к нулю:

$(2x + 1)(3x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x_1 = -1/2$

$3x + 2 = 0 \implies 3x = -2 \implies x_2 = -2/3$

Отметим эти точки на числовой прямой. Так как $-2/3 \approx -0.67$, а $-1/2 = -0.5$, то точка $-2/3$ лежит левее точки $-1/2$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -2/3)$, $(-2/3; -1/2)$ и $(-1/2; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. Функция $y = (2x+1)(3x+2) = 6x^2 + 7x + 2$ является параболой, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен: $6 > 0$). Следовательно, знаки в интервалах чередуются: +, -, +.

Согласно условию, нам нужно найти интервал, где выражение меньше нуля ($<0$). Это интервал, где стоит знак "минус".

Таким образом, решением является интервал $(-2/3; -1/2)$. Поскольку неравенство строгое, концы интервала не включаются.

Ответ: $x \in (-2/3; -1/2)$.

б) $(3 - 4x)(2x - 5) \le 0$

Решаем неравенство методом интервалов. Находим корни уравнения:

$(3 - 4x)(2x - 5) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$3 - 4x = 0 \implies 4x = 3 \implies x_1 = 3/4$

$2x - 5 = 0 \implies 2x = 5 \implies x_2 = 5/2 = 2.5$

Наносим точки $3/4$ и $5/2$ на числовую прямую. Они делят ее на интервалы $(-\infty; 3/4]$, $[3/4; 5/2]$ и $[5/2; +\infty)$.

Определим знаки выражения в интервалах. Функция $y = (3-4x)(2x-5) = -8x^2 + 26x - 15$ является параболой, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен: $-8 < 0$). Значит, знаки в интервалах будут чередоваться: -, +, -.

Нам нужно найти, где выражение меньше либо равно нулю ($\le 0$). Это соответствует интервалам со знаком "минус", а также точкам, где выражение равно нулю.

Решением являются два промежутка: $(-\infty; 3/4]$ и $[5/2; +\infty)$. Неравенство нестрогое, поэтому концы интервалов (корни уравнения) включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty; 3/4] \cup [5/2; +\infty)$.

в) $(7x + 3)(4x - 1) > 0$

Используем метод интервалов. Найдем корни:

$(7x + 3)(4x - 1) = 0$

Корни уравнения:

$7x + 3 = 0 \implies 7x = -3 \implies x_1 = -3/7$

$4x - 1 = 0 \implies 4x = 1 \implies x_2 = 1/4$

Отметим точки $-3/7$ и $1/4$ на числовой прямой. Они разбивают ее на интервалы $(-\infty; -3/7)$, $(-3/7; 1/4)$ и $(1/4; +\infty)$.

Функция $y = (7x+3)(4x-1) = 28x^2 + 5x - 3$ — парабола с ветвями вверх ($28 > 0$). Знаки в интервалах чередуются: +, -, +.

Нам нужно найти, где выражение больше нуля ($>0$). Выбираем интервалы со знаком "плюс".

Решением являются интервалы $(-\infty; -3/7)$ и $(1/4; +\infty)$. Неравенство строгое, поэтому концы интервалов не включаются.

Ответ: $x \in (-\infty; -3/7) \cup (1/4; +\infty)$.

г) $(1 - 2x)(3 + x) \le 0$

Снова применяем метод интервалов. Находим корни уравнения:

$(1 - 2x)(3 + x) = 0$

Корни уравнения:

$1 - 2x = 0 \implies 2x = 1 \implies x_1 = 1/2$

$3 + x = 0 \implies x_2 = -3$

Отмечаем на числовой прямой точки $-3$ и $1/2$. Они делят ее на интервалы $(-\infty; -3]$, $[-3; 1/2]$ и $[1/2; +\infty)$.

Определим знаки. Функция $y = (1-2x)(3+x) = -2x^2 - 5x + 3$ является параболой с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-2$, что меньше нуля). Следовательно, знаки в интервалах чередуются в порядке: -, +, -.

Нам нужно найти, где выражение меньше либо равно нулю ($\le 0$). Это соответствует интервалам со знаком "минус" и самим корням.

Решением являются промежутки $(-\infty; -3]$ и $[1/2; +\infty)$. Неравенство нестрогое, поэтому концы интервалов включаются в ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [1/2; +\infty)$.