Номер 37.8, страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.8, страница 205.

Условие.

37.8 a) $25x^2 + 30x + 9 \ge 0;$

б) $-9x^2 + 12x - 4 < 0;$

в) $-4x^2 + 12x - 9 > 0;$

г) $36x^2 + 12x + 1 \le 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

a) $25x^2 + 30x + 9 \ge 0$

Левая часть неравенства представляет собой полный квадрат суммы. Воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$25x^2 + 30x + 9 = (5x)^2 + 2 \cdot (5x) \cdot 3 + 3^2 = (5x+3)^2$

Таким образом, неравенство можно переписать в виде:

$(5x+3)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Следовательно, это неравенство выполняется для любого значения $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $-9x^2 + 12x - 4 < 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$9x^2 - 12x + 4 > 0$

Левая часть является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:

$9x^2 - 12x + 4 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 2 + 2^2 = (3x-2)^2$

Неравенство принимает вид:

$(3x-2)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Он равен нулю, только если выражение в скобках равно нулю, и строго положителен во всех остальных случаях. Найдем значение $x$, при котором выражение обращается в ноль:

$3x-2=0$

$3x=2$

$x = \frac{2}{3}$

Следовательно, неравенство выполняется для всех значений $x$, кроме $x = \frac{2}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$.

в) $-4x^2 + 12x - 9 > 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства:

$4x^2 - 12x + 9 < 0$

Левая часть представляет собой полный квадрат разности:

$4x^2 - 12x + 9 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = (2x-3)^2$

Неравенство принимает вид:

$(2x-3)^2 < 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Он не может быть строго меньше нуля. Таким образом, у этого неравенства нет решений.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).

г) $36x^2 + 12x + 1 \le 0$

Левая часть неравенства является полным квадратом суммы:

$36x^2 + 12x + 1 = (6x)^2 + 2 \cdot (6x) \cdot 1 + 1^2 = (6x+1)^2$

Неравенство можно переписать как:

$(6x+1)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Это означает, что выражение $(6x+1)^2$ не может быть строго меньше нуля. Единственная возможность, при которой неравенство выполняется, — это когда выражение равно нулю:

$(6x+1)^2 = 0$

$6x+1 = 0$

$6x = -1$

$x = -\frac{1}{6}$

Таким образом, неравенство имеет единственное решение.

Ответ: $x = -\frac{1}{6}$.