Номер 37.13, страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.13, страница 206.

Условие.

37.13 a) $ (2 - x)(x + 1) > 0; $

б) $ (x - 3)(4 - x) \le 0; $

в) $ (1 - x)(x - 2) < 0; $

г) $ (3 - x)(5 + x) \ge 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для решения неравенства $(2 - x)(x + 1) > 0$ применим метод интервалов.
Сначала найдем нули функции $f(x) = (2 - x)(x + 1)$, решив уравнение $(2 - x)(x + 1) = 0$.
Корни уравнения: $2 - x = 0 \Rightarrow x_1 = 2$ и $x + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -1$.
Отметим эти точки на числовой прямой. Они разделят ее на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Теперь определим знак выражения $(2 - x)(x + 1)$ в каждом из интервалов:
- В интервале $(2; +\infty)$ возьмем $x=3$: $(2 - 3)(3 + 1) = (-1) \cdot 4 = -4$. Знак "минус".
- В интервале $(-1; 2)$ возьмем $x=0$: $(2 - 0)(0 + 1) = 2 \cdot 1 = 2$. Знак "плюс".
- В интервале $(-\infty; -1)$ возьмем $x=-2$: $(2 - (-2))(-2 + 1) = 4 \cdot (-1) = -4$. Знак "минус".
Так как знак неравенства "больше" ($>0$), нас интересует интервал, где выражение положительно.
Ответ: $x \in (-1; 2)$.

б) Для решения неравенства $(x - 3)(4 - x) \le 0$ применим метод интервалов.
Найдем нули функции $f(x) = (x - 3)(4 - x)$, решив уравнение $(x - 3)(4 - x) = 0$.
Корни уравнения: $x - 3 = 0 \Rightarrow x_1 = 3$ и $4 - x = 0 \Rightarrow x_2 = 4$.
Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), точки $3$ и $4$ будут включены в решение. Отметим их на числовой прямой. Они разделят ее на три интервала: $(-\infty; 3]$, $[3; 4]$ и $[4; +\infty)$.
Определим знак выражения $(x - 3)(4 - x)$ в каждом из интервалов:
- В интервале $(4; +\infty)$ возьмем $x=5$: $(5 - 3)(4 - 5) = 2 \cdot (-1) = -2$. Знак "минус".
- В интервале $(3; 4)$ возьмем $x=3.5$: $(3.5 - 3)(4 - 3.5) = 0.5 \cdot 0.5 = 0.25$. Знак "плюс".
- В интервале $(-\infty; 3)$ возьмем $x=0$: $(0 - 3)(4 - 0) = -3 \cdot 4 = -12$. Знак "минус".
Так как знак неравенства "меньше или равно" ($\le 0$), нас интересуют интервалы, где выражение отрицательно, а также сами точки-нули.
Ответ: $x \in (-\infty; 3] \cup [4; +\infty)$.

в) Для решения неравенства $(1 - x)(x - 2) < 0$ применим метод интервалов.
Найдем нули функции $f(x) = (1 - x)(x - 2)$, решив уравнение $(1 - x)(x - 2) = 0$.
Корни уравнения: $1 - x = 0 \Rightarrow x_1 = 1$ и $x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$.
Неравенство строгое (<), поэтому точки $1$ и $2$ не включаются в решение. Они разделят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Определим знак выражения $(1 - x)(x - 2)$ в каждом из интервалов:
- В интервале $(2; +\infty)$ возьмем $x=3$: $(1 - 3)(3 - 2) = (-2) \cdot 1 = -2$. Знак "минус".
- В интервале $(1; 2)$ возьмем $x=1.5$: $(1 - 1.5)(1.5 - 2) = (-0.5) \cdot (-0.5) = 0.25$. Знак "плюс".
- В интервале $(-\infty; 1)$ возьмем $x=0$: $(1 - 0)(0 - 2) = 1 \cdot (-2) = -2$. Знак "минус".
Так как знак неравенства "меньше" ($<0$), нас интересуют интервалы, где выражение отрицательно.
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.

г) Для решения неравенства $(3 - x)(5 + x) \ge 0$ применим метод интервалов.
Найдем нули функции $f(x) = (3 - x)(5 + x)$, решив уравнение $(3 - x)(5 + x) = 0$.
Корни уравнения: $3 - x = 0 \Rightarrow x_1 = 3$ и $5 + x = 0 \Rightarrow x_2 = -5$.
Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки $3$ и $-5$ будут включены в решение. Отметим их на числовой прямой. Они разделят ее на три интервала: $(-\infty; -5]$, $[-5; 3]$ и $[3; +\infty)$.
Определим знак выражения $(3 - x)(5 + x)$ в каждом из интервалов:
- В интервале $(3; +\infty)$ возьмем $x=4$: $(3 - 4)(5 + 4) = (-1) \cdot 9 = -9$. Знак "минус".
- В интервале $(-5; 3)$ возьмем $x=0$: $(3 - 0)(5 + 0) = 3 \cdot 5 = 15$. Знак "плюс".
- В интервале $(-\infty; -5)$ возьмем $x=-6$: $(3 - (-6))(5 + (-6)) = 9 \cdot (-1) = -9$. Знак "минус".
Так как знак неравенства "больше или равно" ($\ge 0$), нас интересует интервал, где выражение положительно, а также сами точки-нули.
Ответ: $x \in [-5; 3]$.