Номер 37.6, страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.6, страница 205.

Условие.

37.6 a) $6x^2 > 5x - 1;$

б) $-5x^2 < 6 - 11x;$

в) $-2x^2 + x \le -6;$

г) $5x^2 \ge 4 - 8x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $6x^2 > 5x - 1$
Для решения квадратного неравенства сначала приведем его к стандартному виду $ax^2 + bx + c > 0$. Перенесем все члены в левую часть:
$6x^2 - 5x + 1 > 0$
Далее, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $6x^2 - 5x + 1 = 0$. Это можно сделать с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$
Корни уравнения равны:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
Графиком функции $y = 6x^2 - 5x + 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент $a=6$ положителен. Неравенство $6x^2 - 5x + 1 > 0$ выполняется, когда парабола находится выше оси абсцисс, то есть на интервалах левее меньшего корня и правее большего корня.
Таким образом, решение неравенства — это объединение двух интервалов.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

б) $-5x^2 < 6 - 11x$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид:
$-5x^2 + 11x - 6 < 0$
Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
$5x^2 - 11x + 6 > 0$
Найдем корни уравнения $5x^2 - 11x + 6 = 0$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 6 = 121 - 120 = 1$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 1}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 1}{2 \cdot 5} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$
Ветви параболы $y = 5x^2 - 11x + 6$ направлены вверх ($a=5 > 0$). Неравенство выполняется, когда парабола находится выше оси Ox, то есть за пределами интервала между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (\frac{6}{5}; +\infty)$.

в) $-2x^2 + x \le -6$
Перенесем все члены в левую часть:
$-2x^2 + x + 6 \le 0$
Умножим неравенство на -1, поменяв знак на противоположный:
$2x^2 - x - 6 \ge 0$
Решим соответствующее уравнение $2x^2 - x - 6 = 0$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$
Ветви параболы $y = 2x^2 - x - 6$ направлены вверх ($a=2 > 0$). Неравенство $2x^2 - x - 6 \ge 0$ выполняется, когда парабола находится на оси Ox или выше нее. Это происходит в точках-корнях, а также левее меньшего корня и правее большего.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{3}{2}] \cup [2; +\infty)$.

г) $5x^2 \ge 4 - 8x$
Приведем неравенство к стандартному виду:
$5x^2 + 8x - 4 \ge 0$
Найдем корни уравнения $5x^2 + 8x - 4 = 0$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 64 + 80 = 144$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 12}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 12}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
Ветви параболы $y = 5x^2 + 8x - 4$ направлены вверх ($a=5 > 0$). Неравенство $5x^2 + 8x - 4 \ge 0$ выполняется, когда парабола находится на оси Ox или выше нее, то есть включая корни и за их пределами.
Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [\frac{2}{5}; +\infty)$.