Номер 37.9, страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.9, страница 206.

Условие.

37.9 а) $3x^2 + x + 2 > 0;$

б) $5x^2 - 2x + 1 \ge 0;$

в) $7x^2 - x + 3 \le 0;$

г) $2x^2 + 5x + 10 < 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $3x^2 + x + 2 > 0$

Для решения данного квадратного неравенства рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = 3x^2 + x + 2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент $a = 3$ положителен ($a > 0$).

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (осью Ox), для чего решим квадратное уравнение $3x^2 + x + 2 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 - 24 = -23$.

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox. Поскольку ветви параболы направлены вверх, она полностью расположена выше оси Ox.

Таким образом, значение выражения $3x^2 + x + 2$ положительно при любых действительных значениях $x$. Следовательно, неравенство $3x^2 + x + 2 > 0$ выполняется для всех $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $5x^2 - 2x + 1 \ge 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = 5x^2 - 2x + 1$. Ветви этой параболы направлены вверх, так как старший коэффициент $a = 5$ положителен ($a > 0$).

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2 - 2x + 1 = 0$, чтобы определить точки пересечения с осью Ox.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 4 - 20 = -16$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox. Так как ее ветви направлены вверх, вся парабола находится выше оси Ox.

Это означает, что выражение $5x^2 - 2x + 1$ всегда принимает положительные значения. Неравенство $5x^2 - 2x + 1 \ge 0$ требует, чтобы выражение было больше или равно нулю. Так как оно всегда больше нуля, неравенство справедливо для любого действительного числа $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

в) $7x^2 - x + 3 \le 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = 7x^2 - x + 3$. Старший коэффициент $a = 7 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх.

Найдем корни уравнения $7x^2 - x + 3 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 3 = 1 - 84 = -83$.

Дискриминант $D < 0$, следовательно, у уравнения нет действительных корней. Парабола не пересекает ось Ox и, так как ее ветви направлены вверх, полностью расположена в верхней полуплоскости (выше оси Ox).

Это значит, что выражение $7x^2 - x + 3$ всегда положительно. Неравенство $7x^2 - x + 3 \le 0$ требует, чтобы выражение было меньше или равно нулю. Поскольку выражение всегда строго больше нуля, не существует таких значений $x$, при которых неравенство выполнялось бы.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

г) $2x^2 + 5x + 10 < 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = 2x^2 + 5x + 10$. Старший коэффициент $a = 2 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх.

Найдем корни уравнения $2x^2 + 5x + 10 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 25 - 80 = -55$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Парабола не пересекает ось Ox и целиком лежит над ней, поскольку ее ветви направлены вверх.

Таким образом, выражение $2x^2 + 5x + 10$ всегда положительно при любом $x$. Неравенство $2x^2 + 5x + 10 < 0$ требует, чтобы выражение было отрицательным. Это невозможно, так как оно всегда положительно. Следовательно, неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).