Номер 37.12, страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.12, страница 206.

Условие.

Решите неравенство:

37.12 a) $(x - 2)(x + 3) > 0$;

б) $(x + 5)(x + 1) \le 0$;

в) $(x + 7)(x - 5) < 0$;

г) $(x - 4)(x - 6) > 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для решения неравенства $(x - 2)(x + 3) > 0$ воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x - 2)(x + 3) = 0$. Корнями являются значения, при которых каждая из скобок обращается в ноль: $x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$ и $x + 3 = 0 \Rightarrow x_2 = -3$.
Отметим эти точки на числовой оси. Поскольку неравенство строгое ($>$), точки будут выколотыми. Они разделяют ось на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Определим знак выражения $(x - 2)(x + 3)$ на каждом интервале, подставив любое значение из него:
- Для интервала $(2; +\infty)$, возьмем $x = 3$: $(3 - 2)(3 + 3) = 1 \cdot 6 = 6$. Значение положительное (+).
- Для интервала $(-3; 2)$, возьмем $x = 0$: $(0 - 2)(0 + 3) = -2 \cdot 3 = -6$. Значение отрицательное (-).
- Для интервала $(-\infty; -3)$, возьмем $x = -4$: $(-4 - 2)(-4 + 3) = (-6) \cdot (-1) = 6$. Значение положительное (+).
Нам нужно найти, где выражение больше нуля. Это происходит на интервалах, где мы получили знак "+".
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.

б) Решим неравенство $(x + 5)(x + 1) \le 0$ методом интервалов. Найдем корни уравнения $(x + 5)(x + 1) = 0$: $x + 5 = 0 \Rightarrow x_1 = -5$ и $x + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -1$.
Отметим эти точки на числовой оси. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому точки будут закрашенными, то есть они включаются в решение. Точки делят ось на интервалы: $(-\infty; -5]$, $[-5; -1]$ и $[-1; +\infty)$.
Определим знаки выражения $(x + 5)(x + 1)$ на интервалах:
- Для интервала $[-1; +\infty)$, возьмем $x = 0$: $(0 + 5)(0 + 1) = 5 \cdot 1 = 5$. Значение положительное (+).
- Для интервала $[-5; -1]$, возьмем $x = -2$: $(-2 + 5)(-2 + 1) = 3 \cdot (-1) = -3$. Значение отрицательное (-).
- Для интервала $(-\infty; -5]$, возьмем $x = -6$: $(-6 + 5)(-6 + 1) = (-1) \cdot (-5) = 5$. Значение положительное (+).
Нам нужно найти, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал со знаком "-", включая его концы.
Ответ: $x \in [-5; -1]$.

в) Решим неравенство $(x + 7)(x - 5) < 0$ методом интервалов. Корни уравнения $(x + 7)(x - 5) = 0$: $x_1 = -7$ и $x_2 = 5$.
Отмечаем выколотые точки на числовой оси, так как неравенство строгое (<). Интервалы: $(-\infty; -7)$, $(-7; 5)$ и $(5; +\infty)$.
Определим знаки выражения $(x + 7)(x - 5)$ на интервалах:
- Для интервала $(5; +\infty)$, возьмем $x = 6$: $(6 + 7)(6 - 5) = 13 \cdot 1 = 13$. Значение положительное (+).
- Для интервала $(-7; 5)$, возьмем $x = 0$: $(0 + 7)(0 - 5) = 7 \cdot (-5) = -35$. Значение отрицательное (-).
- Для интервала $(-\infty; -7)$, возьмем $x = -8$: $(-8 + 7)(-8 - 5) = (-1) \cdot (-13) = 13$. Значение положительное (+).
Нам нужно найти, где выражение меньше нуля. Это интервал со знаком "-".
Ответ: $x \in (-7; 5)$.

г) Решим неравенство $(x - 4)(x - 6) > 0$ методом интервалов. Корни уравнения $(x - 4)(x - 6) = 0$: $x_1 = 4$ и $x_2 = 6$.
Отмечаем выколотые точки на числовой оси (неравенство строгое). Интервалы: $(-\infty; 4)$, $(4; 6)$ и $(6; +\infty)$.
Определим знаки выражения $(x - 4)(x - 6)$ на интервалах:
- Для интервала $(6; +\infty)$, возьмем $x = 7$: $(7 - 4)(7 - 6) = 3 \cdot 1 = 3$. Значение положительное (+).
- Для интервала $(4; 6)$, возьмем $x = 5$: $(5 - 4)(5 - 6) = 1 \cdot (-1) = -1$. Значение отрицательное (-).
- Для интервала $(-\infty; 4)$, возьмем $x = 0$: $(0 - 4)(0 - 6) = (-4) \cdot (-6) = 24$. Значение положительное (+).
Нам нужно найти, где выражение больше нуля. Это интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in (-\infty; 4) \cup (6; +\infty)$.