Номер 37.18, страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.18, страница 206.

Условие.

37.18 а) $x^2 - 5x > 0$;

б) $x^2 + 0.5x \le 0$;

в) $x^2 + 8x < 0$;

г) $x^2 - 2.3x \ge 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Для решения неравенства $x^2 - 5x > 0$ найдем сначала корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 5) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.

Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 5)$ и $(5; +\infty)$.

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 5x$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный). Следовательно, выражение $x^2 - 5x$ принимает положительные значения на интервалах вне корней, то есть при $x < 0$ и при $x > 5$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (5; +\infty)$.

б)

Решим неравенство $x^2 + 0.5x \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 0.5x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 0.5) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -0.5$.

Ветви параболы $y = x^2 + 0.5x$ направлены вверх. Значит, выражение $x^2 + 0.5x$ принимает неположительные значения (меньше или равно нулю) на отрезке между корнями, включая сами корни.

Неравенство выполняется при $-0.5 \le x \le 0$.

Ответ: $x \in [-0.5; 0]$.

в)

Решим неравенство $x^2 + 8x < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 8x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 8) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -8$.

Ветви параболы $y = x^2 + 8x$ направлены вверх. Выражение $x^2 + 8x$ принимает отрицательные значения на интервале между корнями.

Неравенство выполняется при $-8 < x < 0$.

Ответ: $x \in (-8; 0)$.

г)

Решим неравенство $x^2 - 2.3x \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 2.3x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 2.3) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2.3$.

Ветви параболы $y = x^2 - 2.3x$ направлены вверх. Выражение $x^2 - 2.3x$ принимает неотрицательные значения (больше или равно нулю) вне отрезка между корнями, включая сами корни.

Неравенство выполняется при $x \le 0$ или $x \ge 2.3$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [2.3; +\infty)$.