Номер 37.22, страница 207, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.22, страница 207.

Условие.

37.22 a) Найдите наименьшее целочисленное решение неравенства $x^2 + 7x \le 30$.

б) Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства $3x - x^2 > -40$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы найти наименьшее целочисленное решение неравенства $x^2 + 7x \le 30$, сначала преобразуем его к стандартному виду, перенеся все члены в левую часть:

$x^2 + 7x - 30 \le 0$

Далее, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 7x - 30 = 0$. Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения. Сначала вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2$

Теперь найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 13}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 13}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Мы имеем дело с параболой $y = x^2 + 7x - 30$, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Неравенство $y \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решением неравенства является отрезок $x \in [-10; 3]$.

Целочисленные решения, принадлежащие этому отрезку: -10, -9, -8, ..., 2, 3. Наименьшим целочисленным решением является -10.

Ответ: -10.

б) Чтобы найти наибольшее целочисленное решение неравенства $3x - x^2 > -40$, преобразуем его. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства. Удобнее, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$0 > x^2 - 3x - 40$

или, что то же самое:

$x^2 - 3x - 40 < 0$

Теперь найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 3x - 40 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169 = 13^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 13}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 13}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Графиком функции $y = x^2 - 3x - 40$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $x \in (-5; 8)$.

Целочисленные решения, принадлежащие этому интервалу: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Наибольшим целочисленным решением является 7.

Ответ: 7.