Номер 37.21, страница 207, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.21, страница 207.

Условие.

37.21 a) Сколько целочисленных решений имеет неравенство $x^2 - 5x - 6 < 0$?

б) Сколько целочисленных решений имеет неравенство $x^2 - 6x \le 7$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы найти количество целочисленных решений неравенства $x^2 - 5x - 6 < 0$, нам необходимо сначала решить это неравенство.

Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения: $x^2 - 5x - 6 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = 5$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -6$

Подбором находим корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.

Графиком функции $y = x^2 - 5x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Неравенство $x^2 - 5x - 6 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-1; 6)$.

Теперь найдем все целочисленные решения, которые принадлежат этому интервалу. Это числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Подсчитаем их количество: всего 6 целых чисел.

Ответ: 6.

б)

Чтобы найти количество целочисленных решений неравенства $x^2 - 6x \le 7$, сначала преобразуем его к стандартному виду:

$x^2 - 6x - 7 \le 0$

Далее найдем корни соответствующего квадратного уравнения: $x^2 - 6x - 7 = 0$.

Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.

Дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 = 8^2$.

Находим корни:

$x_1 = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$x_2 = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Графиком функции $y = x^2 - 6x - 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $x^2 - 6x - 7 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства: $x \in [-1; 7]$.

Теперь найдем все целочисленные решения, которые принадлежат этому отрезку. Это числа: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Их количество можно посчитать: $7 - (-1) + 1 = 8 + 1 = 9$.

Ответ: 9.