Номер 37.17, страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.17, страница 206.

Условие.

37.17 a) $x^2 \le 100$;

б) $4x^2 > 25$;

в) $x^2 \ge 625$;

г) $16x^2 < 47$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $x^2 \le 100$

Это квадратичное неравенство. Для его решения можно применить один из следующих методов.

Метод 1: Метод интервалов.

Перенесем 100 в левую часть неравенства, чтобы получить ноль в правой части:

$x^2 - 100 \le 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 10)(x + 10) \le 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 10)(x + 10) = 0$. Корнями являются $x_1 = 10$ и $x_2 = -10$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала. График функции $y = x^2 - 100$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции меньше или равны нулю на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства — это все $x$, удовлетворяющие условию $-10 \le x \le 10$.

Метод 2: С использованием модуля.

Неравенство вида $x^2 \le a$ (где $a > 0$) равносильно неравенству $|x| \le \sqrt{a}$.

В нашем случае $x^2 \le 100$, значит $|x| \le \sqrt{100}$, то есть $|x| \le 10$.

По определению модуля, это неравенство равносильно двойному неравенству $-10 \le x \le 10$.

Ответ: $x \in [-10; 10]$.

б) $4x^2 > 25$

Сначала разделим обе части неравенства на 4:

$x^2 > \frac{25}{4}$

Метод 1: Метод интервалов.

Перенесем все в левую часть:

$x^2 - \frac{25}{4} > 0$

Разложим на множители, используя формулу разности квадратов и тот факт, что $\frac{25}{4} = (\frac{5}{2})^2$:

$(x - \frac{5}{2})(x + \frac{5}{2}) > 0$

Корни соответствующего уравнения $(x - \frac{5}{2})(x + \frac{5}{2}) = 0$ равны $x_1 = \frac{5}{2}$ (или 2.5) и $x_2 = -\frac{5}{2}$ (или -2.5).

График функции $y = x^2 - \frac{25}{4}$ — парабола с ветвями вверх. Значения функции строго больше нуля вне промежутка между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x < -\frac{5}{2}$ или $x > \frac{5}{2}$.

Метод 2: С использованием модуля.

Неравенство вида $x^2 > a$ (где $a > 0$) равносильно $|x| > \sqrt{a}$, что, в свою очередь, означает $x > \sqrt{a}$ или $x < -\sqrt{a}$.

В нашем случае $x^2 > \frac{25}{4}$, значит $|x| > \sqrt{\frac{25}{4}}$, то есть $|x| > \frac{5}{2}$.

Это равносильно совокупности $x > \frac{5}{2}$ или $x < -\frac{5}{2}$.

Ответ: $(-\infty; -2.5) \cup (2.5; \infty)$.

в) $x^2 \ge 625$

Это квадратичное неравенство вида $x^2 \ge a$.

Метод 1: Метод интервалов.

Перенесем 625 в левую часть:

$x^2 - 625 \ge 0$

Заметим, что $625 = 25^2$. Разложим левую часть на множители:

$(x - 25)(x + 25) \ge 0$

Корни соответствующего уравнения $(x - 25)(x + 25) = 0$ равны $x_1 = 25$ и $x_2 = -25$.

График функции $y = x^2 - 625$ — парабола с ветвями вверх. Значения функции больше или равны нулю при значениях $x$ на лучах вне промежутка между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства: $x \le -25$ или $x \ge 25$.

Метод 2: С использованием модуля.

Неравенство вида $x^2 \ge a$ (где $a > 0$) равносильно $|x| \ge \sqrt{a}$, что означает $x \ge \sqrt{a}$ или $x \le -\sqrt{a}$.

В данном случае $x^2 \ge 625$, значит $|x| \ge \sqrt{625}$, то есть $|x| \ge 25$.

Это равносильно совокупности $x \ge 25$ или $x \le -25$.

Ответ: $(-\infty; -25] \cup [25; \infty)$.

г) $16x^2 < 47$

Разделим обе части неравенства на 16:

$x^2 < \frac{47}{16}$

Метод 1: Метод интервалов.

Перенесем все в левую часть:

$x^2 - \frac{47}{16} < 0$

Разложим левую часть на множители. Корни уравнения $x^2 - \frac{47}{16} = 0$ равны $x = \pm\sqrt{\frac{47}{16}} = \pm\frac{\sqrt{47}}{4}$.

Таким образом, неравенство принимает вид: $(x - \frac{\sqrt{47}}{4})(x + \frac{\sqrt{47}}{4}) < 0$.

График функции $y = x^2 - \frac{47}{16}$ — парабола с ветвями вверх. Значения функции строго меньше нуля на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-\frac{\sqrt{47}}{4} < x < \frac{\sqrt{47}}{4}$.

Метод 2: С использованием модуля.

Неравенство вида $x^2 < a$ (где $a > 0$) равносильно $|x| < \sqrt{a}$.

В нашем случае $x^2 < \frac{47}{16}$, значит $|x| < \sqrt{\frac{47}{16}}$, то есть $|x| < \frac{\sqrt{47}}{4}$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству $-\frac{\sqrt{47}}{4} < x < \frac{\sqrt{47}}{4}$.

Ответ: $(-\frac{\sqrt{47}}{4}; \frac{\sqrt{47}}{4})$.