Номер 37.25, страница 207, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.25, страница 207.

Условие.

37.25 a) $\sqrt{2x - x^2}$;

б) $(\sqrt{6x^2 - 2x})^{-1}$;

в) $\sqrt{5x - x^2}$;

г) $(\sqrt{3x^2 - 12x})^{-1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

a) Чтобы найти область определения выражения $ \sqrt{2x - x^2} $, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Составим и решим неравенство:
$ 2x - x^2 \ge 0 $
Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства:
$ x^2 - 2x \le 0 $
Вынесем $x$ за скобки:
$ x(x - 2) \le 0 $
Решим это неравенство методом интервалов. Корни соответствующего уравнения $ x(x - 2) = 0 $ равны $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = 2 $. Эти точки делят числовую ось на три интервала. Так как это парабола с ветвями вверх ($ a=1>0 $), и мы ищем, где она меньше или равна нулю, то решением будет промежуток между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решением неравенства является промежуток $ [0; 2] $.
Ответ: $ [0; 2] $.

б) Выражение $ (\sqrt{6x^2 - 2x})^{-1} $ можно представить в виде дроби $ \frac{1}{\sqrt{6x^2 - 2x}} $.
Область определения этого выражения задается условием, что подкоренное выражение должно быть строго больше нуля (поскольку оно находится в знаменателе и под корнем). Составим и решим неравенство:
$ 6x^2 - 2x > 0 $
Вынесем $2x$ за скобки:
$ 2x(3x - 1) > 0 $
Решим неравенство методом интервалов. Корни уравнения $ 2x(3x - 1) = 0 $ равны $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = \frac{1}{3} $. Это парабола с ветвями вверх ($ a=6>0 $), и мы ищем, где она больше нуля, поэтому решением будут промежутки вне корней.
Таким образом, решение неравенства: $ x < 0 $ или $ x > \frac{1}{3} $.
Ответ: $ (-\infty; 0) \cup (\frac{1}{3}; +\infty) $.

в) Чтобы найти область определения выражения $ \sqrt{5x - x^2} $, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Составим и решим неравенство:
$ 5x - x^2 \ge 0 $
Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства:
$ x^2 - 5x \le 0 $
Вынесем $x$ за скобки:
$ x(x - 5) \le 0 $
Корни соответствующего уравнения $ x(x - 5) = 0 $ равны $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = 5 $. Это парабола с ветвями вверх ($ a=1>0 $), и мы ищем, где она меньше или равна нулю, поэтому решением будет промежуток между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решением неравенства является промежуток $ [0; 5] $.
Ответ: $ [0; 5] $.

г) Выражение $ (\sqrt{3x^2 - 12x})^{-1} $ можно представить в виде дроби $ \frac{1}{\sqrt{3x^2 - 12x}} $.
Подкоренное выражение должно быть строго больше нуля, так как оно находится в знаменателе. Составим и решим неравенство:
$ 3x^2 - 12x > 0 $
Вынесем $3x$ за скобки:
$ 3x(x - 4) > 0 $
Решим неравенство методом интервалов. Корни уравнения $ 3x(x - 4) = 0 $ равны $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = 4 $. Это парабола с ветвями вверх ($ a=3>0 $), и мы ищем, где она больше нуля, поэтому решением будут промежутки вне корней.
Таким образом, решение неравенства: $ x < 0 $ или $ x > 4 $.
Ответ: $ (-\infty; 0) \cup (4; +\infty) $.