Номер 37.27, страница 207, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.27, страница 207.

Условие.

37.27 a) $\sqrt{(x^2 - 5x + 6)^{-1}}$;

б) $\sqrt{(-2x^2 + 5x - 2)^{-1}}$;

в) $\sqrt{(x^2 - x - 12)^{-1}}$;

г) $\sqrt{(-3x^2 - 10x - 3)^{-1}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Данные выражения представляют собой нахождение области определения функций. Общий вид функции: $y = \sqrt{(f(x))^{-1}}$.

Выражение $\sqrt{A}$ определено, когда $A \ge 0$.

Выражение $(f(x))^{-1}$ равно $\frac{1}{f(x)}$.

Следовательно, для того чтобы исходное выражение имело смысл, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $\frac{1}{f(x)} \ge 0$.

Это неравенство, в свою очередь, равносильно строгому неравенству $f(x) > 0$, так как знаменатель не может быть равен нулю, а дробь положительна только тогда, когда числитель и знаменатель одного знака (числитель 1 - положительный).

Таким образом, для каждого пункта задача сводится к решению квадратного неравенства.

а) $\sqrt{(x^2 - 5x + 6)^{-1}}$

Решим неравенство $x^2 - 5x + 6 > 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 5$

$x_1 \cdot x_2 = 6$

Корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - 5x + 6$ имеет ветви, направленные вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$). Следовательно, функция принимает положительные значения за пределами корней.

Решением неравенства является объединение интервалов: $(-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$.

б) $\sqrt{(-2x^2 + 5x - 2)^{-1}}$

Решим неравенство $-2x^2 + 5x - 2 > 0$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$2x^2 - 5x + 2 < 0$.

Найдем корни уравнения $2x^2 - 5x + 2 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

Парабола $y = 2x^2 - 5x + 2$ имеет ветви, направленные вверх. Следовательно, функция принимает отрицательные значения между корнями.

Решением неравенства является интервал: $(\frac{1}{2}; 2)$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{2}; 2)$.

в) $\sqrt{(x^2 - x - 12)^{-1}}$

Решим неравенство $x^2 - x - 12 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 1$

$x_1 \cdot x_2 = -12$

Корни уравнения: $x_1 = -3$, $x_2 = 4$.

Парабола $y = x^2 - x - 12$ имеет ветви, направленные вверх ($1 > 0$). Следовательно, функция принимает положительные значения за пределами корней.

Решением неравенства является объединение интервалов: $(-\infty; -3) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (4; +\infty)$.

г) $\sqrt{(-3x^2 - 10x - 3)^{-1}}$

Решим неравенство $-3x^2 - 10x - 3 > 0$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$3x^2 + 10x + 3 < 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2 + 10x + 3 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$

$x_2 = \frac{-10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Парабола $y = 3x^2 + 10x + 3$ имеет ветви, направленные вверх. Следовательно, функция принимает отрицательные значения между корнями.

Решением неравенства является интервал: $(-3; -\frac{1}{3})$.

Ответ: $x \in (-3; -\frac{1}{3})$.